對於乙個給定的
線性變換
，它的特徵向量（本徵向量或稱正規正交向量）
v經過這個線性變換
[1]之後，得到的新向量仍然與原來的
v 保持在同一條直線上，但其長度
也許會改變。乙個特徵向量的長度在該線性變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。
圖1給出了乙個以著名油畫《
蒙娜麗莎
》為題材的例子。在一定條件下（如其矩陣形式為實對稱矩陣的線性變換），乙個變換可以由其特徵值和特徵向量完全表述。
乙個特徵空間是具有相同特徵值的特徵向量與乙個同維數的零向量的集合，可以證明該集合是乙個線性子空間。
從最原始的線性代數角度進行考慮，
矩陣是一種線性變化，特徵向量就是在這個變化當中不變的向量。說白了就是在變化當中尋找不變的東西。
特徵向量與特徵值
在看線性代數這一部分的時候，真是一頭霧水。雖然明白了特徵值和特徵向量的求法，但總覺得沒有用。在 理解矩陣 一文中，雖然提到了這與矩陣的本質有關，但並未詳細提及，但我知道了一定具有一定的幾何意義。後來，檢視了 特徵向量的幾何意義 一文，才明白了。特別是wikipedia中關於 特徵向量 的文章，終於對...
特徵值與特徵向量
我們知道，矩陣乘法對應了乙個變換，是把任意乙個向量變成另乙個方向或長度都大多不同的新向量。在這個變換的過程中，原向量主要發生旋轉 伸縮的變化。如果矩陣對某乙個向量或某些向量只發生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉的效果，那麼這些向量就稱為這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例就是特徵值。實際上，上述的一段話既講...
特徵值與特徵向量
矩陣與向量的乘法可以理解為變換 投影，變換分為旋轉變換與伸縮變換，投影可以是低維向高維的投影，也可以是高維向低維的投影。因此，方陣與向量的乘法只有變換操作，乙個行數大於列數的矩陣與向量的乘法包含了變換以及維度的提高，乙個行數小於列數的矩陣與向量的乘法則是維數的降低。方陣的矩陣乘法對應了一種變換，將乙...