①證明r(ata) = r(a)
思路：通過證明ax =0與atax =0同解進而解決r(ata) = r(a)
∵ax =0=> atax =0
反之：∵atax =0=>xtatax =0
∴(ax)tax =0
兩邊同時取行列式有|(ax)tax| = 0 => |(ax)t||ax| = 0
又∵|(ax)t| = |ax|
∴|ax|2 = 0 => ax =0
∴ax =0與atax =0同解
∴他們基礎解系所含向量個數相同
即n-r(a) = n-r(ata) => r(a) = r(ata)
②有兩個mxn的矩陣a、b，證明r(a + b) ≤ r(a) + r(b)
設a的列向量αi1、αi2 …… αin的乙個極大線性無關組為αi1、αi2 …… αir(r < n)
設b的列向量βi1、βi2 …… βin的乙個極大線性無關組為βi1、βi2 …… βit(t < n)
那麼αi1、αi2 …… αin中任何乙個向量均可由αi1、αi2 …… αir(r < n)線性表示
βi1、βi2 …… βin中任何乙個向量均可由βi1、βi2 …… βit(t < n) 線性表示
於是a + b中的每乙個列向量αi1 + βi1、αi2 + βi2 …… αin + βin均可由αi1、αi2 …… αir、i1、βi2 …… βit線性表示
因此，a+b列向量組中極大線性無關組的向量個數不大於αi1、αi2 …… αir、i1、βi2 …… βit中的向量個數
即r(a+b) ≤ r+t = r(a)+r(b)
當且僅當αi1、αi2 …… αir、i1、βi2 …… βit線性無關時等號成立
③a是mxn矩陣，b是nxs矩陣，證明r(ab) ≤ min(r(a), r(b))
對於齊次方程組(1)abx =0和(2)bx =0
若α是方程組(2)的任意乙個解，則由(ab)α = a(bα) = a0=0知α是方程組(1)的解
∴方程組(2)的解集是方程組(1)的解集的子集
又∵(1)的解向量的秩為s - r(ab)，(2)的解向量的秩為s - r(b)
∴s - r(ab) ≤ s - r(b)， 即r(ab) ≤ r(b)
由上述結論可得r(ab) = r((ab)t) = r(btat) ≤ r(at) = r(a)
綜上所述可得出結論r(ab) ≤ min(r(a), r(b))
矩陣秩的理解
首先，講到矩陣的秩，幾乎必然要引入矩陣的svd分解 x usv u,v正交陣，s是對角陣。如果是完全svd分解的話，那s對角線上非零元的個數就是這個矩陣的秩了 這些對角線元素叫做奇異值 還有些零元，這些零元對秩沒有貢獻。有了這個前提，我們就可以用各種姿勢來看秩了 1.把矩陣當做樣本集合，每一行 或每...
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9 矩陣的秩
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