反對稱矩陣\(a = -a^t\)
１．不存在奇數級的可逆反對稱矩陣.
２．反對稱矩陣的主對角元素全為零.
３．反對稱矩陣的秩為偶數
４．反對稱矩陣的特徵值成對出現（實反對稱的特徵值為０或純虛數）
５．反對稱矩陣的行列式為非負實數
６．設a為反對稱矩陣，則a合同於矩陣
\(d = \begin
0 & 1 & & & & & & \\
-1 & 0 & & & & & & \\
& & \ddots & & & & & \\
& & & 0 & 1 & & & \\
& & & -1 & 0 & & & \\
& & & & & 0 & & \\
& & & & & & \ddots & \\
& & & & & & & 0 \\
\end\)
因為ａ為反對稱矩陣，設
\(a = \begin
0 & a_ & \dots & a_\\
-a_ & 0 & \dots & a_ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_ & -a_ & \dots & 0 \\
\end\)
(1)當ｎ= 1時 結論顯然成立。
(2)當 n = 2時
若\(a_ = 0\) 結論顯然也成立。
若$a_ \not=0 \(，取
\)u = \begin
0 & 1 \
-1 & a_^ \
\end\(
則有\)u^tau =
\begin
0 & 1 \
-1 &0 \
\end$，
所以ａ與ｄ合同。
(3)假定對於階數小於ｎ時反對稱矩陣a合同於ｄ
現證明對\(n(n \leq 3)\)的反對稱矩陣a也合同於d
若ａ的第一行全為０，則有
\(a = \begin
0 & 0 \\
0 & b \\
\end\)
其中ｂ是n-1階反對稱矩陣，則存在n-1階可逆矩陣q與矩陣ｄ，使得\(q^tbq = d\)
取\(s = \begin
0 & 0 \\
0 & q \\
\end\)
則\(s^tas = \begin
0 & 0 \\
0 & q^tbq \\
\end\)
再令\(t = \begin
0 & 1 \\
i_ & 0 \\
\end\)
此處\(i_\) 是n-1階單位矩陣
有\(t^ts^tast = \begin
q^tbq & 0 \\
0 & 0 \\
\end\)
取\(p=st\)，則有
\(p^tap = \begin
q^tbq & 0 \\
0 & 0 \\
\end\)
則ａ合同於ｄ
2.若矩陣ａ的第一行不全為０)
\(a = \begin
0 & a_ & \dots & a_ \\
-a_ & & & \\
\vdots & & b & \\
-a_ & & & \\
\end\)
不妨設\(a_ \not= 0\)，可對ａ實施初等變換如下：
\(a_2=q_2^taq_2 =
\begin
a_^ & & & \\
& 1 & & \\
& & \ddots & \\
& & & 1 \\
\end
\begin
0 & a_ & \dots & a_ \\
-a_ & & & \\
\vdots & & b & \\
-a_ & & & \\
\end
\begin
a_^ & & & \\
& 1 & & \\
& & \ddots & \\
& & & 1 \\
\end = \begin
0 & 1 & \dots & a_^a_ \\
-1 & & & \\
\vdots & & b_2 & \\
-a_^a_ & & & \\
\end\)
再取\(q_j = \begin
1 & & & & & \\
& 1 & \dots & -a_^a_ & \dots & 0 \\
& & \ddots & & & \\
& & & 1 & & \\
& & & & \ddots & \\
& & & & & 1 \\
\end \qquad s.t. 3 \leq j \leq n\)
可得\(a_n = q_n^t \dots q_3^ta_2q_3 \dots q_n = \begin
0 & 1 & \\
-1 & 0 & \\
& & b_n \\
\end\)
由於所作為對稱式的變換，所以b_n依舊為反對稱矩陣，所以存在n-2階可逆矩陣s使得\(s^tbs = \begin
0 & 1 & & & & & & \\
-1 & 0 & & & & & & \\
& & \ddots & & & & & \\
& & & 0 & 1 & & & \\
& & & -1 & 0 & & & \\
& & & & & 0 & & \\
& & & & & & \ddots & \\
& & & & & & & 0 \\
\end\)
令\(q = q_2 \dots q_n\)且\(s' = \begin
i_2 & 0 \\
0 & s \\
\end\)，此處\(i_2\)為２階單位矩陣
則有\(q^ts^tasq = \begin
0 & 1 & & & & & & \\
-1 & 0 & & & & & & \\
& & \ddots & & & & & \\
& & & 0 & 1 & & & \\
& & & -1 & 0 & & & \\
& & & & & 0 & & \\
& & & & & & \ddots & \\
& & & & & & & 0 \\
\end\)
所以ａ是ｄ的合同矩陣。
由上可知\(a=udu^t\)，由於ｕ為滿秩（初等變換矩陣），所以ａ的秩等於ｄ的秩。
ｄ的秩為偶數，所以ａ的秩也為偶數，即，反對稱矩陣的秩為偶數
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