動態規劃系列 不再為 揹包 問題煩惱

本篇文章將站在labuladong文章上對【揹包】系列問題進行總結。

通過本文，你可以解決一下leetcode問題。

動態規劃幫助我們有效率地遍歷問題的解，反覆強調的在做動態規劃時，需要注意的點有。

第一，明確【狀態】和【選擇】

第二，明確dp陣列的含義

第三，找出狀態轉移方程式

第四，確認好邊界（base line）情況

一般來說，對於我們比較困難在於第二和第三點，因為兩者有密切的練習，我們需要明確含義才能想明白狀態之間的改變。

labuladong給出的框架如下：

接下來我們將帶著這個框架去解決【揹包】系列問題。

我們都知道最經典的0-1揹包是這樣設定的：

給你乙個可裝載重量為w的揹包和n個物品，每個物品有重量和價值兩個屬性。其中第i個物品的重量為wt[i]，價值為val[i]，現在讓你用這個揹包裝物品，最多能裝的價值是多少？

n = 3, w = 4

wt = [2, 1, 3]

val = [4, 2, 3]

接下來，我們套用標準模板來走一遍思路。

第一步，明確【狀態】和【選擇】。

【狀態】對於我們描述問題是關鍵，也就是通過狀態我們可以有效地表達出當前的問題情況。那麼在揹包問題中，【揹包的容量】和【可選擇的物品】就構成了我們的【揹包問題】。

對於乙個物品我們所擁有的【選擇】顯而易見，那就是**「放」**還不是「**不放」**這個物品。

第二步明確dp陣列的含義

在上一步中我們只是把關鍵的要素確定了出來，而在這一步中dp陣列起到的就是描述問題的紐帶。把我們在步驟一中提到的要素放在dp中，就可以有效地【描述問題】，所以是dp【】=。

第三步根據選擇明確狀態的轉移

對於選擇來講只有兩種，放還是不放。那麼我們還要對應寫出，當物品選擇「放」時的【狀態】，和不放的狀態。

相信大家已經都很熟悉了。

如果你沒有把這第i個物品裝入揹包，那麼很顯然，最大價值dp[i][w]應該等於dp[i-1][w]。你不裝嘛，那就繼承之前的結果。

如果你把這第i個物品裝入了揹包，那麼dp[i][w]應該等於dp[i-1][w-wt[i-1]] + val[i-1]。

針對問題，考慮周全它的基本情況。其實在這裡我們又可以加深一層體會，在搜尋問題所有解的時候。不管是回溯還是動態規劃，本質上也是要找到問題的【突破口】。對於回溯演算法，遍歷到深處回退，以及動態規劃從baseline上開始計算，都需要描述清楚。

附加步驟狀態壓縮

當問題的狀態比較多時，實際上動態規劃求解的過程只需要依靠【上乙個狀態】做出抉擇。基於此，我們常常可以把空間繼續壓縮，來優化演算法，儘管這樣會降低**的可讀性。

最後給出0-1揹包的**，懶得打了，來自labuladong，推廣好文。

int

knapsack
(int w,
int n, vector<
int>
& wt, vector<
int>
& val)
else}}
return dp[n]
[w];
}

乍一看可能還沒那麼快反應過來。實際上要求劃分的兩個子集元素和相等，假設該集合的所有元素和為sum，那麼我們就得在集合中找到合適的元素，使得他們的和為sum/2。問題用【揹包】語言翻譯一下也就是：

給乙個揹包容量為【sum/2】和【n】個物品（元素），每個物品重量為 nums[i], 是否存在一種裝法, 能將揹包裝滿。

根據之前提出的框架和結構，寫出**。

完全揹包的改變在於物品的使用是不限制的，因此狀態的總和來自於【選】與【不選】狀態的相加，即是上乙個物體不管【選】還是【沒選】都不會影響我當前的問題狀態，隱藏的含義就是物體的使用是不限制的。

根據框架和步驟，給出**。

class

solution
}return dp[coins.
size()
][amount];}
};

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動態規劃系列之揹包問題

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