以換硬幣問題來講解一下動態規劃解題4步曲：
你有三種硬幣，分別面值2元，5元和7元，每種硬幣都有足夠多。買一本書需要27元。不需要對方找錢，如何用最少的硬幣組合正好付清 ？
正常人第一反應思路:
最少硬幣組合?
優先使用大面值硬幣——7+7+7+5=26 額？可求解目標是27啊……
改演算法——7+7+7+2+2+2=27，總共用了6枚硬幣正好27元.
實際正確答案：7+5+5+5+5=27，才用了5枚硬幣。
所以這裡貪心演算法是不正確的。
動態規劃解題套路用起來。
狀態在動態規劃中的作用屬於定海神針。解動態規劃時需要開乙個陣列，這裡的「狀態」就是指數組的每個元素f[i]或f[i][j]代表什麼。
確定狀態需要兩個意識：最後一步和子問題
1.最後一步
這道題中，我們不知道最優策略是什麼，但最優策略肯定是k枚硬幣a1,a2……ak面值加起來是27。
這裡的「最後一步」就是存在最後一枚硬幣ak。
除去ak，前面的硬幣面值和為27-ak。
這裡有兩個關鍵點：
① 我們不關心前面的k-1枚硬幣是怎麼拼出27-ak的，我們也不知道ak和k，但是我們確定前面的硬幣拼出了27-ak。
② 因為是最優策略，所以拼出的27-ak硬幣數一定要最少，否則就不是最優策略。
2.子問題
現在問題變成了：最少用多少枚硬幣可以拼出27-ak。也就是將原問題（27）轉化成了乙個子問題，而且規模更小（27-ak）。
這種與原問題核心一致，但是規模更小的問題，就叫子問題。
為了簡化定義，我們設狀態f(x)=最少用多少枚硬幣拼出x。所以問題就從求f(x)變成求f(x-ak)
我們目前還不知道最後的硬幣ak面額多少，但它的面額一定只可能是2/5/7之一。
如果ak是2，f(27)應該是f(27-2) + 1 (加上最後這一枚面值2的硬幣）
如果ak是5，f(27)應該是f(27-5) + 1 (加上最後這一枚面值5的硬幣）
如果ak是7，f(27)應該是f(27-7) + 1 (加上最後這一枚面值7的硬幣）
除此以外，沒有其他的可能了。
因為要求最少的硬幣數，所以問題的解就可以這樣表示：
f(27) = min
設狀態f[x]=最少用多少枚硬幣拼出x
對於任意x，f[x] = min
如果正確列出轉移方程，問題基本就解決一半了。
大家基本也可以做到寫出狀態轉移方程，但真正寫程式的時候往往會出現很多錯誤或問題。
這就涉及到在在**前的兩個重要步驟，就是我們4步解題法的第三步和第四步。
f[x] = min的邊界情況是x-2, x-5或者x-7不能小於0（硬幣面值為正）
故對邊界情況設定如下：
如果硬幣面值不能組合出y，就定義f[y]=正無窮
例如f[-1]=f[-2]=…=正無窮；
f[1] =min=正無窮,表示拼不出1
特殊情況：本題的f[0]對應的情況為f[-2]、f[-5]、f[-7]，按照上文的邊界情況設定結果是正無窮。
但是實際上f[0]的結果是存在的（即使用0個硬幣的情況下），f[0]=0。
這種用轉移方程無法計算，但是又實際存在的情況，就必須通過手動定義。
所以這裡定義初始條件為：f[0]=0.
而從0之後的數值是沒矛盾的，比如f[1]= f[1-2]+1= f[-1]+1=正無窮（正無窮加任何數結果還是正無窮）；f[2]= f[2-2]+1= f[0]+1=1……
那麼開始計算時，是從f[1]、f[2]開始？還是從f[27]、f[26]開始呢？
判斷計算順序正確與否的原則是：
當我們要計算f[x]（等式左邊，如f[10]）的時候，等式右邊（f[x-2], f[x-5], f[x-7]等）都是已經得到結果的狀態，這個計算順序就是ok的。
實際就是從小到大的計算方式（偶有例外的情況我們後邊再講）。
例如我們算到f[12]的時候，發現f[11]、f[10]、f[9]都已經算過了，這種演算法就是對的；
而開始算f[27]的時候，發現f[26]還沒有算，這樣的順序就是錯的。
很顯然這樣的情況下寫乙個for迴圈就夠了。
回到這道題，採用動態規劃的演算法，每一步只嘗試三種硬幣，一共進行了27步。演算法時間複雜度（即需要進行的步數）為27*3。
原題練習：
這道題是lintcode 669：coin change
動態規劃解題4步曲
a)確定狀態
b)轉移方程
c)初始條件和邊界情況
d)計算順序
按照以上4步套路，基本上可以解決絕大多數型別的動態規劃題。
動態規劃解題思路
在leetcode上看題解與結合自己的想法得出思路。首先明確 dp 陣列所存資料的含義。這步很重要，如果不得當或者不夠清晰，會阻礙之後的步驟。然後根據 dp 陣列的定義，假設 dp 0 i 1 dp 0 i 1 都已知，想辦法求出 dp i dp i 一旦這一步完成，整個題目基本就解決了。但如果無法...
動態規劃解題思路
一直以來，對動態規劃的理解處於乙個模糊的狀態，就是一種似乎懂但遇到問題未必能行的狀態 然後，最近重點在leetcode上找了一些動態規劃的題目做了一下，逐漸有了一些思路。我覺得leetcode上對動態規劃思想的概括非常到位，所以記錄在這裡 動態規劃 英語 dynamic programming，簡稱...
動態規劃解題步驟
動態規劃解題步驟？給你兩個單詞 word1 和 word2，請你計算出將 word1 轉換成 word2 所使用的最少運算元 你可以對乙個單詞進行如下三種操作 插入乙個字元 刪除乙個字元 替換乙個字元 示例 1 輸入 word1 horse word2 ros 輸出 3 解釋 horse rorse...