如何運用動態規劃解題

本文內容整理自中國大學mooc郭煒老師的程式設計與演算法（二）

首先由數字三角形問題出發（￣︶￣）↗　，題目描述如下：

7 3   8 

8   1   0 

2   7   4   4 

4   5   2   6   5

在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底部的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。（三角形的行數大於1小於100，數字為0~99）

輸入：

第一行是數字三角形的行數，接下來 n 行是數字三角形中的數字。　　

比如：5

73  8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5　　

輸出：

最大和分析：

1）首先最容易想到的是遞迴演算法，第n行第n列到底部的路徑最大和為：自身+第n+1行最大的；臨界條件：最後一行的路徑最大和即為自身。

遞迴參考**

///

遞迴#include using
namespace
std;
intn;
int maxsum(int i,int j,int a[101
]);int
main()
}cout
<0,0
,a);
return0;
}int maxsum(int i,int j,int a[101
])else
if(i1
)}

2）可是該遞迴方法有很多很多重複的計算，所以我們想到可以記下已經算過的，當用到時直接拿過來用，這樣就避免了大量的重複運算。

///

記憶遞迴型動規
#include using
namespace
std;
intn;
int b[101][101];//
記憶陣列用來存已經計算出來的結果
int maxsum(int i,int j,int a[101
]);int
main()
}cout
<0,0
,a);
return0;
}int maxsum(int i,int j,int a[101
])else
else
if(i1
)    
}}

3）其實呢，一般都是用遞推的方式來推出動態規劃演算法的，用迴圈遞推不但比遞迴快，而且還能節省空間，寫起來也比較方便，但是還是基於遞迴的思想才能遞推出遞推式。

第一步：在草稿紙或者腦子裡想出解決該題的遞迴函式。

第二步：遞迴函式有n個引數，就定義乙個n維的陣列，陣列的下標是，遞迴函式引數的取值範圍，陣列元素的值是遞迴函式的返回值。

第三步：根據邊界條件，初始化n維陣列。

第四步：得到遞推式，根據遞推式逐步填充陣列，相當於遞迴的逆過程。

如本題：

///

第一步寫遞迴函式已經在上面寫完了
#include #include 
using
namespace
std;
intmain()
}///第三步根據邊界條件初始化二維陣列
for(int i=1;i<=n;i++)
/**第四步，根據遞迴函式推出遞推式
a[i][j],i==n-1;
dp[i][j]=
max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j];
*////
得到遞推式，把遞推式寫出來
for(int i=n-1;i>=1;i--)
}cout
<1][1]
}

4）往往由遞推式寫出的程式可以進行空間優化，如樣例輸入

①用一維記憶陣列代替多維記憶陣列

其一維記憶陣列為maxsum=

那麼算n-1行經過2的路徑的最大和，在4和5中選出最大數，將結果存在4的位置，即maxsum=。這樣並不會影響其他的路徑和，比如第n-1行經過7的路徑的最大和，是在5和2中選出最大數。

#include #include 

using
namespace
std;
intmain()
}for(int i=1;i<=n;i++)
for(int i=n-1;i>=1;i--)
}cout
<1]
}

②刪去一維記憶陣列，用儲存輸入資料的陣列的最後一行當作記憶陣列儲存計算結果

#include #include 

using
namespace
std;
intmain()
}//因為一維記憶陣列初始化是和d陣列第n行一樣，而且d陣列第n行只在n-1才會用到
for(int i=n-1;i>=1;i--)
}cout
<1]
}

4）那麼什麼樣的問題適合用動態規劃呢？

①問題具有最優子結構性質。

如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結構性質。　　

②無後效性。

當前的若干狀態的值一旦確定，則此後過程的演變就只和這若干個狀態的值有關，和之前是採取哪種手段或經過哪條路徑演變到當前的這若干個狀態，沒有關係。

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