設r是非空集合a上的關係，如果r是自反的，對稱的，傳遞的，則稱r為a上的等價關係。
設n為正整數，整數集合z上以n為模的同餘關係 r=，r是乙個等價關係。
- 有n|(x-x)，n能整除x-x, 所以∈r，自反
- n|(x-y)，因為x,y交換也能被整除，對稱
- 若∈r，∈r，則n|(x-y),n|(y-z)，可得n|(x-z)，從而∈r，傳遞
設r是非空集合a.上的等價關係,對任意x∈a,稱集合[x]r= 為x關於r的等價類，x為[x]r的生成元。
- 例：在集合a = 上定義為以4為模的同餘關係中：[0]r=[4]r=[8]r =
等價類性質
由r確定一切等價類的集合，稱為集合a上關於r的商集，記為a/r，即a/r =
同乙個集合有多種不同的劃分（π），不同的等價關係匯出不同的劃分，如以3為模和以4為模。
給定集合a的乙個劃分π= ,則由該劃分確定的關係r=(s1 x s1)u(s2x s2)∪…u(smx sm) 是a上的等價關係。我們稱該關係r為由劃分π所匯出的等價關係。
設r是非空集合a上的關係，如果r是自反的，反對稱的，傳遞的，則稱r為a上的偏序關係。記為「≤」。偏序可以表示整除，恒等，包含，大於等於，小於等於。。。這些關係。
如果x≤y 或y≤x , 則稱x與y可比。
如果x≤y 且不存在z∈a，使得x≤z≤y ，則稱y覆蓋x。
字典排序：
假設σ是乙個所有小寫字母的集合，σ*是包含空字的由所有字母構成的串。x = x1x2…xn , y = y1y2…yn
∈l , 即ab ≤ bc xly
∈l , 即abc ≤ abcd
對字母串從左往右按照字母表的順序比較字母的大小。
哈斯圖：
取消每個結點的自環（自反性）
取消所有由於傳遞性出現的邊，即x→y , y→z則去掉x→z
重新排列每條邊，使得邊的箭頭方向全部向上，然後去掉這些箭頭，只剩下邊。以上步驟得到的圖稱為偏序關係r的哈斯圖。存在最大元和最小元。
兩個元素之間沒有邊代表沒有關係，所以會出現最大元最小元為無。
設< a,≤>是偏序集，b是a的任何乙個子集,若存在元素b∈b,使得
。對任意x∈b,滿足b≤x→x=b,則稱b為b的極大元;。對任意x∈b,滿足x≤b→x=b,則稱b為b的極小元.
區別：最大元b表示在b中所有元素都比b小（所有元素都和b比較且都要小）；極大元b表示在b中沒有比b大的元素。
上界：對任意x ∈b,滿足 x ≤ a , 則稱a為b的上界。（下界相反）
上確界：對於b的任何乙個上界都有最小的a』≤ a ， a』稱為b的上確界或最小上界。（下確界相反）
例：在子集中上界為，上確界為
上界和上確界沒有必然關係。
設r是非空集合a上的關係，如果r是反自反的和傳遞的，則稱r為a上的擬序關係。記為「
r是集合a上的偏序關係，則r - ia是a上的擬序關係;
s是集合a上的擬序關係，則s∪ia是a上的偏序關係.
設是乙個偏序關係，若對任意x,y ∈a ， x與都是可比的都有關係，則稱關係「≤」為全序關係（全序集）。
全序關係的哈斯圖將元素排列成一條線。
設是全序集 ， 若a的任何乙個非空子集都有最小元素，則稱「≤」為良序關係。
良序關係一定是全序關係， 有限全序集一定是良序集。
函式和關係的差別：
數量不同：從a到b的不同關係有2|a|x|b|個，從a到b的不同函式卻僅有|b||a|個。
基數不同：每個關係基數可以從0到|a|x|b| , 每個函式的基數都為|a|個。
第一元素存在差別：關係的第乙個元素可以相同，函式的第一元素一定互不相同。
設f是從集合a到b的函式
對任意x1,x2 ∈a，如果x1 ≠ x2 都有 f(x1) ≠ f(x2)，則f 為從a到b的單射。（|a|≤ |b|）
如果值域中包含所有b中的元素，則稱f為從a到b的滿射；當且僅當 ∀y∈b，一定存在x∈a，使得f(x) =y（b中元素不能超過a即|a|≥|b|）
如果f即是單射有是滿射，則稱f為從a到b的雙射。( |a|= |b| )
復合函式：設f:a→b,g: b→c是兩個函式,則f與g的復合關係f o g= 是從a到c的函式,稱為函式f與g的復合函式 , 記為f o g:a→c.（和關係復合區別在於f o g 是f在前，有方向，不滿**換律，且f o g(x) = g(f(x)) ）
- 如果f,g都是滿射或單射或雙射，則f o g也是一樣。
** 逆函式**：設f:a→b是函式, f-1 =是從b到a的函式，
- 當且僅當f是雙射，此時f-1也是雙射。
- f o f-1 = ia； f-1 o f = ib
《離散數學》關係
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