2、原點保持固定。
總的來說，你應該把線性變換看作是「保持網格線平行且等距分布」的變換。
總之，線性變換是操控空間的一種手段，它保持網格線平行且等距，並且保持原點不動。令人高興的是，這種變換僅用幾個數字就可以描述，這些數字就是變換後基向量的座標。以這些座標為列所構成的矩陣為我們提供了一種描述線性變換的語言。這裡重要的一點是：每當你看到乙個矩陣時，你都可以把它解讀成對空間的一種特定變換。
如果對乙個向量先進行一次旋轉變換，再進行一次剪下變換 ，如下圖所示：
那麼如果通過旋轉矩陣和剪下矩陣來求得這個符合矩陣呢？為了解決這個問題，我們定義這個過程叫做矩陣的乘法。
在這裡我們發現，矩陣乘法的變換順序是從右往左讀的（這乙個常識很重要，你得明白這一點，有基本概念），進一步聯絡和思考發現，和復合函式的形式，如 f(g(x))，是一致的。
那麼如何求解矩陣乘法呢？對線性代數有印象的同學你們現在能馬上記起來那個稍顯複雜的公式嗎？如果有些忘記了，那麼，現在，就有乙個一輩子也忘不了的直觀解釋方法：
m1矩陣的第一列表示的是 i帽變換的位置，先把它拿出來，m2矩陣看成對這個變換過的i帽進行一次變換（按照同樣的規則），就如上圖所示。同理，針對 j帽 一樣的操作過程，就可以得出這個表示式。
同理，在三維座標系下也成立。
我們注意到，有一些變換在結果上拉伸了整個網格，有一些則是壓縮了，那如何度量這種壓縮和拉伸呢？或者換一種更容易思考的表達，某一塊面積的縮放比例是多少？
根據我們之前講的基向量，我們只需要知道 i帽和j帽組成的面積為1的正方形面積縮放了多少就代表所有的情況。因為線性變換有乙個性質：網格線保持平行且等距分布。
所以，這個特殊的縮放比例，即線性變換對面積產生改變的比例，就是行列式。
特別的，我們可以發現，如果乙個矩陣的行列式為0，意味著它把這個空間降維了，並且矩陣的列線性相關。
其中，正負表達的是方向，類似於紙的翻面。從數學來說，j帽起始狀態在i帽的左側，如果經過變換，變為在右側，就新增負號。三維情況下，右手定位為正，左手定則為負。
首先，這一節並不涉及計算的方法，相關名次有：高斯消元法 gaussian elimination、行階梯形 row echelon form。這裡著眼的是對抽象的概念建立乙個幾何直觀的理解，計算的任務就交給計算機去做。
上圖就是乙個整理好的線性方程組，一般形式ax=v ，其中x是待求向量。使用之前的幾何直觀來翻譯個公式即，x經過a矩陣變換後，恰好落在v上，如下圖：
既然使用了a這個矩陣變換，那麼之前講解的概念：行列式應用在這裡就很有意思了。根據之前提到的，行列式直觀來說就是矩陣變換操作面積的縮放比例。我們可以思考，det(a)=0意味著縮放比例為0，即降維了。很大可能找不到解，唯一的可能性，比如平面壓縮成直線，這個直線恰好落在 v上才有解。這也是為什麼計算行列式的值可以判斷方程是否有解的幾何直觀。
接下來思考如何求 向量x。逆向思考，從 向量v出發，進行某乙個矩陣變換，恰好得到 x。而這個反過來的矩陣變換，就稱為a矩陣的逆矩陣，寫成公式是：
所謂逆，就是反過來的意思。根據基向量代表整個空間，已經變換過的i帽和j帽如何通過乙個矩陣變換，變回
和原來的i帽和j帽這個矩陣就是逆矩陣 ，直觀理解如下圖：
逆矩陣乘原矩陣等於恒等變換，寫作
其中，i矩陣表示基向量，對角線元素為1，其餘為0（矩陣說對角線，預設為左上方到右下方）。
秩是秩序，聯想為秩序的程度。
我們已經建立了一種深刻的認知：矩陣 = 變換，那麼變換後空間的維度，就是這個矩陣的秩。更加精確的定義是：列空間的維數。
變換後落在原點的向量的集合，稱為這個矩陣（再次強調矩陣 = 變換的數字表達）的零空間或核，如果感覺沒理解，可以看看下圖：
【圖1】二維壓縮到乙個直線（一維），有一條直線（一維）的點被壓縮到原點
【圖2】三維壓縮到乙個面（二維），有一條直線（一維）的點被壓縮到原點
【圖3】三維壓縮到一條線（一維），有一條直線（二維）的點被壓縮到原點
【注意】壓縮就是變換，變換就是矩陣，其實說的就是矩陣
滿秩 = 列空間 + 零空間
1、從幾何角度理解線性方程組的乙個高水平概述
2、每個方程組都有乙個線性變換與之聯絡，當逆變換存在時，你就能用這個逆變換求解方程組
3、不存在逆變換時，列空間的概念讓我們清楚什麼時候存在解
4、零空間的概念有助於我們理解所有可能得解的集合是什麼樣的
首先從乙個特例出發，考慮3×2（3行2列）矩陣的幾何意義，從列空間我們得知，第一列表示的是i帽變換後的位置（現在是乙個有三個座標的值，即三維），第二列同理是 j帽。總結來說，3×2矩陣的幾何意義是將二維空間對映到三維空間上。
此時從特例到一般化推倒，我們可以得到乙個結論：n*m 的幾何意義是將m維空間（輸入空間）對映到n維空間（輸出空間）上。注意這裡的輸入空間，輸出空間的概念，閱讀方向同樣也是從右向左的（靠右的是輸入，靠左的是輸出）。
如果你已經學過線性代數的大學課程，你可能有一些影響，並不是任意兩個非方陣都可以進行矩陣乘法，必須滿足一些條件，例如，m1m2（非方陣）計算中，假設 m2為2×3的矩陣，那麼 m1的列必須等於 m2的行，否則這個乘法是沒法計算的。當我們有了變換的幾何直觀後，這個概念只要自己思考推倒一次，也是一輩子都忘不了的直觀解釋是：矩陣的行是這個變換的輸出空間維數，而列是變換的輸入空間維數。矩陣乘法從右向左讀，第乙個變換的 m2的輸出向量的維度（ m2的行）必須和第二個變換 m1的輸入向量（ m1的列）維度相等，才可以計算。
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