1.集合與對映
本節首先介紹了**集合、數域、對映**的一些概念，其中數域是包含0、1，且對加減乘除法封閉的數集。所以顯然偶數集、整數集不是數域，有理數域、實數域、複數域是數域，且任何數域都包含有理數域。
2.線性空間及性質
定義1.1: 講述了線性空間的定義，在v中定義加法、數乘，如果對這兩個運算封閉、且滿足加法的4個條件（結合律、交換律、存在0元素、存在負元素）和數乘的4個條件（數因子分配律、結合律、分配律、乘1等於本身），則稱v是k的線性空間。
定理1.1:v的零元素、負元素是唯一的
定義線性無關：如果存在不全為0的一組數，使得這些向量的加權和=0，則稱這些向量線性無關。
定義1.2: 定義了基的概念，滿足兩個條件：線性無關，v的任意元素均可由基線性表示。
定義1.4:定義x在一組基下的座標表示，且表示是唯一的
3.基變換與座標變換
線性空間v的兩組基之間可以相互轉換，座標也可以相互轉換。
4.線性子空間
定義1.5:定義了線性子空間，若v1是v的子集，且v1對加法、數乘封閉，則v1是v的子集
生成子空間：v的一組向量的加權求和構成的空間是由這組向量生成的子空間。可證明這個空間滿足1.5的定義。
定義1.6:對於乙個矩陣來說，它的列向量張成的子空間記為a的值域，列向量線性無關的個數就是矩陣a的秩。a的值域可以寫成上個生成子空間的形式ax。
定義1.7:滿足ax=0的集合是a的零空間。
結論：矩陣的秩+零度=a的列向量個數
定理1.3:子空間的基可以擴充為v的一組基。
5.子空間的交與和
定理1.4:兩個子空間的交也是v的子空間
定理1.5:兩個子空間的和也是v的子空間
定理1.6（維數公式）：v1的維數 + v2的維數 = (v1+v2)的維數 + (v1交v2)的維數
矩陣論筆記（一） 線性空間
線性空間是定義在數域 k上滿足某些運算規律的向量集合，而數域本身也是一種特殊的集合。所以我們先講集合，再講數域，最後講線性空間。集合 兩種表示方式 列舉 性質 並集 交集 和集 元素和的可能值集合 數域 一種數集，元素的和 差 積 商仍在數集中，稱為數域，如有理數域 複數域 實數域 對映 象 原象，...
線性空間與線性變換
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