n個有序的元素應有n!個不同的排列，如若乙個排列使得所有的元素不在原來的位置上，則稱這個排列為錯排；有的叫重排。
錯排公式
遞推關係
為求其遞推關係，分兩步走：
第一步，考慮第n個元素，把它放在某乙個位置，比如位置k，一共有n-1種放法；
第二步，考慮第k個元素，這時有兩種情況：（1）把它放到位置n，那麼對於除n以外的n-1個元素，由於第k個元素放到了位置n，所以對剩下n-2個元素的錯排即可，有f[n-2]種放法；（2）第k個元素不放到位置n，這時對於這n-1個元素的錯排，有f[n-1]種放法。
根據乘法和加法法則，綜上得到f[n]=(n-1)∗
*∗( f[n-1]+f[n-2] )
再詳細一點 轉一篇大神的講解
這個問題推廣一下，就是錯排問題，是組合數學中的問題之一。考慮乙個有n個元素的排列，若乙個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那麼這樣的排列就稱為原排列的乙個錯排。 n個元素的錯排數記為d(n)。 研究乙個排列錯排個數的問題，叫做錯排問題或稱為更列問題
ok，現在詳細分析這個問題，我們要的最終結果就是書的編號與所在位置的編號不同，在這裡，我們把n本書的錯排運算元記為f(n)，那n-1本就是f(n-1)，n-2本就是f(n-2)啦，下面，我們把放置問題分為兩步（初始位置號與書的編號相同）：
第一步：
我們取一本書，書的編號為m，現在這本書就在我們手中，注意，按照題目要求，最開始的時候這本書的位置號也是m號，按照題目要求，我們現在放書時不能放回這個位置m了，而是要選擇其他位置，那麼有多少種選擇呢，想一下，總共有n本書，n個位置，現在我手裡這本書不能把它放到位置m，那麼剩下的n-1個位置我當然就是隨便扔啦，也就是n-1種扔法，好，現在，我選擇了位置k，我決定把手裡這本書放到位置k這裡，記住這個是位置編號k，那麼，我肯定要把原來這裡的編號為k的書拿出來，再把這本編號為n的書放進去嘍。所以，現在我們手裡的書的編號是k
第二步：
我們把手裡這本編號為k的書本放到書架，注意，放的過程中我們又面臨兩種情況，可以想到，此時此刻現在書架上編號m的位置是空著的，所以我們可以選擇放在這個位置上，書的編號為k，位置編號為m，沒錯，滿足題意，這是第一種情況，還有一種就是我不選擇這個空著的位置m，我再重新選擇乙個新的位置，我們稱之為第二種情況，下面詳細分析
第一種情況：我把這本編號為k的書放到這個編號為m的位址，那現在我們面前是什麼狀況呢，就是位置k和位置m的書交換位置，也就是位置號不等於書號，即滿足錯排，總共n個位置，我們只動了m和k這兩個位置，那麼剩下的n-2個位置還是紋絲不動，保持一一對應的關係呢，那麼對於剩下的這n-2本書的錯排操作，我們又回到了問題的起點，求n-2本的錯排運算元f(n-2)，結合第一步，我們可以得到第一種情況總共有(n-1)∗
*∗f(n-2)種方法
第二種情況：我們不選擇這個空著的位置m啦，我們手持這本編號為k的書，加上剩下的n-2本書一共有n-1本，直接對這n-1本書進行錯排就好了，即(n-1)∗
*∗f[n-1]
原答案第二種情況我認為有點廢話，所以這裡我進行了改動 這裡給出我對第二種情況的思考 因為第一種情況是將編號為k的書放在m位上，所以第二種情況要求k不在m位上，但我一直搞不懂為什麼對n-1個元素進行錯排就能確定k不在m位上 其實這裡是需要跳脫出來的 我們可以將m位視作k的位置，即k不能放在k上 那其實就是對包括編號k的n-1本書進行錯排
暫時先這樣理解吧- -我認為這是唯一能讓我不再糾結下去的辦法了
好的，現在我們總結兩種情況，結果進行相加，就可以得到遞推公式啦
遞推公式為：f[n]=(n-1)∗
*∗( f[n-1]+f[n-2] )
給出大神的原詳解
這裡還有一種解釋我覺得是比較易懂的，就寫一下
借用hdu2049的題目：不容易系列之(4)——考新郎
首先考慮，如果開始有n-1個新郎，並且這n-1個人都已經完成了錯排（有f(n-1)種可能），現在又來了乙個人，那麼後來的第n個人可以通過用自己的新娘去和那n-1個人中的任意乙個交換，來實現n個人都錯排。這種情況有(n-1)∗
*∗f[n-1]種可能;
另外，如果開始的n-1個人不是都錯排，那麼要想使第n個人過來與其中乙個交換後實現錯排的話就必須滿足兩個條件：
1.那n-1個人中只有乙個人選到了自己的新娘，也就是說有n-2個人都已經錯排了。
2.第n個人必須和那個選到自己新娘的人去交換，但那個選到自己新娘的人可以是n-1個人中的任意乙個。這種情況有(n-1)∗
*∗f[n-2]種可能。
其他情況都不能滿足n個人錯排。
因此遞推關係：f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])。
如果實在有不會的那就先套公式吧- -別有強迫症 多刷刷題再回來看看 會簡單很多
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