對於 ax=
bax = b
ax=b
，a 是 m×n
m \times n
m×n 矩陣，r
rr 表示矩陣 a
aa 的秩，即線性無關的方程個數
如果 r=m
=n
r = m = n
r=m=
n，即 滿秩的情況下，矩陣a
aa是可逆的，有且僅有乙個解，矩陣 a 的簡化行階梯形式 r 為 單位矩陣 i。
如果 r=m
<
nr = m < n
r=m<
n，0個或1個解，簡化行階梯形式 r = [i, 0]
秩與維度的關係
解的個數
簡化行階梯形式 r
r = m = n
1r = i（單位矩陣）
r = n < m
0 或 1
r =[
i0
]r = \begini\\ 0\end
r=[i0
]r = m < n
∞
\infty∞r=
[if]
r = \begini & f\end
r=[if
]r < m, r < n
0 或 ∞
\infty∞r=
[if0
0]
r = \begini &f\\ 0 &0\end
r=[i0
f0]
矩陣的秩決定了 方程組解的數目，也決定了 r 的形式。秩 r 包含了所有資訊
方程 方程組的種類
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高斯消元法求方程組的解
高斯消元法 也叫行化簡法 簡單地來說就是構造方程組的增廣矩陣，將增廣矩陣化為階梯型，將每一行主元位置化為1，主元下面元素都為0。最後從下往上依次代入求解。至於主元的選擇，最簡單的就是從第一行開始依次選取主對角線上的元素，但是這樣做的有一點需要注意就是如果主元非常小，就可能除了之後產生非常大的數字，可...