動態規劃 鋼條切割問題

給定一段長度為n英吋的鋼條和乙個**表p，求切割鋼條方案（鋼條的長度均為整英吋），使得銷售收益最大。

我們可以計算出長度為n英吋的鋼條共有2的（n-1）次方種不同的切割方案。

為解決規模為n的原問題，我們可以這樣考慮。先求解形式完全一樣，但規模更小的子問題。我們將鋼條左邊切割下長度為i的一段（i的取值範圍是[1, n]），然後只對右邊剩下的長度為n-i的一段繼續進行切割（遞迴求解）。即問題的分解方式為：將長度為n的鋼條分解為左邊開始一段，以及剩餘部分繼續分解的結果。這樣我們就可以做出如下解答：

function

cut_rod
(p, n)
return sum;
}let p =[0
,1,5
,8,9
,10,17
,17,20
,24,30
];console.
log(
cut_rod
(p,5))
;//13

回過頭看，會發現整個過程進行了大量的重複計算，嚴重浪費了效率。

接下來展示如何將它轉換為乙個更高效的動態規劃演算法。動態規劃方法對每個子問題只求解一次，並將結果儲存下來。如果隨後在此需要此子問題的解，無需重新計算，只需查詢儲存的結果。有兩種方法：

帶備忘的自頂向下法

此方法仍然按照自然的遞迴形式程式設計，但過程中會儲存每個子問題的解。

function

memorized_cut_rod
(p,n)
if(n ==0)
let sum =
-infinity
;for
(let i =
1; i <= n; i++
)	    arr[n]
= sum;
return sum;
}return
_memorized_cut_rod
(p, n, arr)
}let p =[0
,1,5
,8,9
,10,17
,17,20
,24,30
];console.
log(
memorized_cut_rod
(p,5))
;//13

自底向上法

這種方法一般需要恰當定義子問題「規模」的概念，使得任何子問題的求解都只依賴於「更小的」子問題的求解。

function

bottom_up_cut_rod
(p, n)
// 陣列中記錄子問題的解
arr[i]
= sum;
}return arr[n];}
let p =[0
,1,5
,8,9
,10,17
,17,20
,24,30
];console.
log(
bottom_up_cut_rod
(p,5))
;//13

動態規劃 鋼條切割問題

已知鋼條切割的不同長度對應的不同 如下所示 長度i 1 23 45 67 89 10 pi 1589101717202430 求輸入長度，輸出最佳的收益。詳細理論知識見 演算法導論第十五章 p359 書中給出三個演算法 一 自頂向下遞迴實現 缺點 當n足夠大時，時間會 性地增長。偽 cut rod ...

動態規劃 鋼條切割問題

動態規劃與分治法相似，都是通過組合子問題的解來求解原問題。回顧下分治法的原理 它將問題劃分為互不相交的子問題 注意 互不相交 遞迴求解子問題，再將它們的解組合起來，即為原問題的解。但是，動態規劃與分治法不同，有以下幾點 1 對於子問題重疊的情況，分治法則重複求解，不高效。而動態規劃對每個子問題只求解...

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一家公司購買長鋼條，將其切割成短鋼條 切割本身沒有成本，長度為i的短鋼條的 為pi。那給定一段長度為n的鋼條和乙個 表pi,求鋼條的切割方案使得收益rn最大。如乙個pi如下 長度i123 4567 8910 pi15 891017 1720 2430 在距離鋼條左端i長度處，我們總是可以選擇切割或者...