動態規劃鋼條切割

動態規劃（dynamic programming）

什麼是動態規劃，我們要如何描述它?

動態規劃演算法通常基於乙個遞推公式及乙個或多個初始狀態。當前子問題的解將由上一次子問題的解推出。

動態規劃和分治法相似，都是通過組合子問題的解來求解原問題。分治法將問題劃分成互不相交的子問題，遞迴求解子問題，再將他們的解組合起來，求出原問題的解。與之相反，動態規劃應用於子問題重疊的情況，即不同的子問題具有公共的子子問題。在這種情況下，分治演算法會做出許多不必要的工作，它會反覆的求解那些公共子問題。而動態規劃演算法對每個子子問題只求解一次，將結果儲存到**中，從而無需每次求解乙個子子問題都要重新計算。

鋼條切割利潤最大化問題描述：

給出下面乙個鋼條的長度（int型別）和對應的**表，求出給定長度n公尺（int型別）的鋼條如何切割才能獲得最大收益。

長度(m)12

**實現：

using system;
namespace _4_1_1動態規劃_鋼條切割_遞迴
;     * 給定一長度為n的鋼條和一張**表(i =1, 2,3...n)，求切割鋼條的方案，
* 使的利潤最大,可以不進行切割
*/class program
;console.writeline(updown(1, p));
console.writeline(updown(2, p));
console.writeline(updown(3, p));
console.writeline(updown(4, p));
console.writeline(updown(5, p));
console.writeline(updown(6, p));
console.writeline(updown(7, p));
console.writeline(updown(8, p));
console.writeline(updown(9, p));
console.readkey();
}///
/// 鋼條切割遞迴演算法
//////
要切割的長度
///索引**鋼條的長度，值代表**
///public
static
intupdown(int n,int p)
}return maxprice;} }
}

執行結果：

遞迴優化：

優化思路也和簡單：當我們使用遞迴解決問題的時候，會發現相同的問題會執行多次，比如我們求長度為5的最大利潤的時候，就會把長度為4 的最大利潤也求出來，而求長度為6的最大利潤時，還需要把長度為5，長度為4的最大利潤在求一次，，，如果可以長度為n的最大利潤可以儲存下來，那麼程式執行起來就會快很多了，，，優化**如下：

namespace _4_1_2動態規劃_鋼條切割_遞迴優化
;            //用於儲存所求長度的最大利潤，
int result = new
int[p.length+1];
console.writeline(updown(1, p,result));
console.writeline(updown(2, p,result));
console.writeline(updown(3, p,result));
console.writeline(updown(4, p,result));
console.writeline(updown(5, p,result));
console.writeline(updown(6, p,result));
console.writeline(updown(7, p,result));
console.writeline(updown(8, p,result));
console.writeline(updown(9, p,result));
console.readkey();
}///
/// 鋼條切割遞迴演算法
//////
要切割的長度
///索引**鋼條的長度，值代表**
///public
static
intupdown(int n, int p,int result)
}result[n] = maxprice;
return maxprice;}}
}

動態規劃的方法進行求解上面的方法之所以效率很低，是因為它反覆求解相同的子問題。因此，動態規劃演算法安排求解的順序，對每個子問題只求解一次，並將結果儲存下來。如果隨後再次需要此子問題的解，只需查詢儲存的結果，不必重新計算。因此動態規劃的方法是付出額外的記憶體空間來節省計算時間。

自底向上法

首先恰當的定義子問題的規模，使得任何問題的求解都只依賴於更小的子問題的解。因而我們將子問題按照規模排序，按從小到大的順序求解。當求解某個問題的時候，它所依賴的更小的子問題都已經求解完畢，結果已經儲存。

**實現：

using system;
using system.collections.generic;
using system.linq;
using system.text;
using system.threading.tasks;
namespace _4_1_3動態規劃_鋼條切割_自底向上
;            //用於儲存所求長度的最大利潤，
int result = new
int[p.length + 1];
console.writeline(bottomup(1, p, result));
console.writeline(bottomup(2, p, result));
console.writeline(bottomup(3, p, result));
console.writeline(bottomup(4, p, result));
console.writeline(bottomup(5, p, result));
console.writeline(bottomup(6, p, result));
console.writeline(bottomup(7, p, result));
console.writeline(bottomup(8, p, result));
console.writeline(bottomup(9, p, result));
console.readkey();
}public
static
intbottomup(int n,int p,int result)
}result[i] = maxprice;
}return result[n];}}
}

動態規劃 鋼條切割

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