最大子段和詳解

最大子段和問題(maximum interval sum)

（有時也稱lis）

經典的動態規劃問題，幾乎所有的演算法教材都會提到.本文將分析最大子段和問題的幾種不同效率的解法，以及最大子段和問題的擴充套件和運用.

一.問題描述

給定長度為n的整數序列，a[1…n], 求[1,n]某個子區間[i , j]使得a[i]+…+a[j]和最大.或者求出最大的這個和.例如(-2,11,-4,13,-5,2)的最大子段和為20,所求子區間為[2,4].

二. 問題分析

1.窮舉法

窮舉應當是每個人都要學會的一種方式，這裡實際上是要窮舉所有的[1,n]之間的區間，所以我們用兩重迴圈，可以很輕易地做到遍歷所有子區間，乙個表示起始位置，乙個表示終點位置.**如下:

int start = 0
;//起始位置  
int end = 0;  //結束位置  
int max = 0;  
for(int i = 1; i <= n; ++i)  
}  }

這個演算法是幾乎所有人都能想到的，它所需要的計算時間是o(n^3).當然，這個**還可以做點優化，實際上我們並不需要每次都重新從起始位置求和加到終點位置.可以充分利用之前的計算結果.

或者我們換一種窮舉思路,對於起點 i，我們遍歷所有長度為1,2,…,n-i+1的子區間和，以求得和最大的乙個.這樣也遍歷了所有的起點的不同長度的子區間，同時，對於相同起點的不同長度的子區間，可以利用前面的計算結果來計算後面的.

比如，i為起點長度為2的子區間和就等於長度為1的子區間的和+a[i+1]即可，這樣就省掉了乙個迴圈，計算時間複雜度減少到了o(n^2).**如下:

int start = 0
;//起始位置  
int end = 0;//結束位置  
int max = 0;  
for(int i = 1; i <= n; ++i)  
}  }

2.分治法

求子區間及最大和，從結構上是非常適合分治法的，因為所有子區間[start, end]只可能有以下三種可能性:

在[1, n/2]這個區域內

在[n/2+1, n]這個區域內

起點位於[1,n/2],終點位於[n/2+1,n]內

以上三種情形的最大者，即為所求. 前兩種情形符合子問題遞迴特性，所以遞迴可以求出. 對於第三種情形，則需要單獨處理. 第三種情形必然包括了n/2和n/2+1兩個位置，這樣就可以利用第二種窮舉的思路求出:

以n/2為終點，往左移動擴張，求出和最大的乙個left_max

以n/2+1為起點，往右移動擴張，求出和最大的乙個right_max

left_max+right_max是第三種情況可能的最大值

示例：

int maxinterval(int *a, int left, int right)  
//center+1開始向右移動  
sum = 0;  
int right_max = 0;  
for(int i = center+1; i <= right; ++i)  
int ret = left_max+right_max;  
if(ret < leftmaxinterval)  
ret = leftmaxinterval;  
if(ret < rightmaxinterval)  
ret = rightmaxinterval;  
return ret;  
}

分治法的難點在於第三種情形的理解，這裡應該抓住第三種情形的特點，也就是中間有兩個定點，然後分別往兩個方向擴張，以遍歷所有屬於第三種情形的子區間，求的最大的乙個，如果要求得具體的區間，稍微對上述**做點修改即可. 分治法的計算時間複雜度為o(nlogn).

3.動態規劃法

動態規劃的基本原理這裡不再贅述，主要討論這個問題的建模過程和子問題結構.時刻記住乙個前提，這裡是連續的區間

令b[j]表示以位置 j 為終點的所有子區間中和最大的乙個

子問題:如j為終點的最大子區間包含了位置j-1,則以j-1為終點的最大子區間必然包括在其中

如果b[j-1] >0, 那麼顯然b[j] = b[j-1] + a[j]，用之前最大的乙個加上a[j]即可，因為a[j]必須包含

如果b[j-1]<=0,那麼b[j] = a[j] ,因為既然最大，前面的負數必然不能使你更大

對於這種子問題結構和最優化問題的證明，可以參考演算法導論上的「剪下法」，即如果不包括子問題的最優解，把你假設的解粘帖上去，會得出子問題的最優化矛盾.證明如下：

令a[x,y]表示a[x]+…+a[y] , y>=x

假設以j為終點的最大子區間 [s, j] 包含了j-1這個位置，以j-1為終點的最大子區間[ r, j-1]並不包含其中

即假設[r,j-1]不是[s,j]的子區間

存在s使得a[s, j-1]+a[j]為以j為終點的最大子段和,這裡的 r != s

由於[r, j -1]是最優解, 所以a[s,j-1]

int
max = 0;  
int b[n+1];  
int start = 0;  
int end = 0;  
memset(b,0,n+1);  
for(int i = 1; i <= n; ++i)  
else  
if(b[i]>max)  
max = b[i];  
}

動態規劃法的計算時間複雜度為o(n),是最優的解。做幾道題加深理解

最直白的lis題：

最大子段和公升級版，最大m段和：

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