錯排問題
錯排問題 就是一種遞推式，不過它比較著名且常用，所以要熟記！
錯排問題：有n個正整數1，2，3，……n，將這n個正整數重新排列，使其中的每乙個數都不在原來的位置上，這種排列稱為正整數1，2，3，……n的錯排，問這n個正整數的排個數是多少？
設這n個正整數的錯排個數為an，為了探求an的表示式，我們先從最特殊的情形入手。
當n=1時，由於只有乙個數1，不可能有錯排，所以a1=0.
當n=2時，兩個數的錯排是唯一的，所以a2=1.
當n=3時，三個數1、2、3只有2、3、1和3、1、2兩種錯排，所以a3=2.
當n=4時，四個數1、2、3、4的錯排有：2、1、4、3；2、3、4、1；2、4、1、3；3、1、4、2；3、4、2、1；4、1、2、3；4、3、1、2；4、3、2、1，共有9種錯排，所以a4=9.
上面使用的是列舉法，當n較大時，這種方法是很麻煩的、難以解決問題的，必須另闢蹊徑，現在考慮用排除法求出1、2、3、4這四個正整數的錯排的種數，從中摸索出規律。
對於四個正整數1、2、3、4，這四個數的全排列數為4！。
有乙個數不錯排的情況應排除，由於1排在第1位的有3！種，2排在第2位的有3！種，……4排在第4位的有3！種，所以共應排除4×3！種。
然而在排除有乙個數不錯排的情況時，把同時有兩個數不錯排的情況也排除了，應予以補上，由於1、2分別排在第1、第2位上的情況共有2！種，同理1、3分別排在第1、第3位上的情況也有2！種，……，這四個數中同時有兩個數不錯排的情況共有種，所以應補上 種。在補上同時有兩個數不錯排的情況時，把同時有三個數不錯排的情況也補上了，應予以排除，四個數中有1、2、3不錯排，1、2、4不錯排，1、3、4不錯排和2、3、4不錯排共 種情況，所以應排除 種。
在排除同時有三個數不錯排的情況時，把同時有四個數不錯排的情況也排除了，所以應補上同時有四個數不錯排的情況僅1、2、3、4這一種。
對於第二個公式：
遞迴關係式為：f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))
解釋：
n 個不同元素的乙個錯排可由下述兩個步驟完成：
第一步，「錯排」 1 號元素（將 1 號元素排在第 2 至第 n 個位置之一），有 n - 1 種方法。
第二步，「錯排」其餘 n - 1 個元素，按如下順序進行。視第一步的結果，若1號元素落在第 k 個位置，第二步就先把 k 號元素「錯排」好， k 號元素的不同排法將導致兩類不同的情況發生：
1、 k 號元素排在第1個位置，留下的 n - 2 個元素在與它們的編號集相等的位置集上「錯排」，有 f(n -2) 種方法；
2、 k 號元素不排第 1 個位置，這時可將第 1 個位置「看成」第 k 個位置(也就是說本來準備放到k位置為元素，可以放到1位置中),於是形成（包括 k 號元素在內的） n - 1 個元素的「錯排」，有 f(n - 1) 種方法。據加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 種方法。
根據乘法原理， n 個不同元素的錯排種數
hdu-2049-考新郎
這個題目就需要用到錯排。
遞迴 錯排公式
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數論 錯排公式
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