最小生成樹原理及Kruskal演算法的js實現

設圖g(v,e)連通，則

生成樹：包含圖g(v,e)中的所有節點，及|v|-1條邊的連通圖，乙個圖的生成樹可以有多顆

最小生成樹：最小權重生成樹，在生成樹的概念上加乙個限制條件，即生成樹的所有邊的權值總和最小的樹，最小生成樹也可以有多顆

由於最小生成樹包含圖g的所有邊，所以我們需要做的只是尋找最小生成樹的邊集a

設：邊集a是圖g的任意一顆最小生成樹的邊的子集，初始時a為空當a不等於g的某個最小生成樹的所有邊集m時迴圈以下步驟找到一條屬於m但不屬於a的邊，加入到a中

現在問題我們如何去尋找那條只屬於m但不屬於a的邊

邊v的尋找方法

當a為空時，圖g(v,a)是乙個有|v|個樹的森林，當a中有n條邊時，n

kruskal和prim演算法是最小生成樹常用的兩種演算法，這兩種演算法都是對上述通用方法的細化，不同之處就是對邊v的尋找方法上有所差異，kruskal演算法又叫做(邊擴充套件)演算法，適用於邊稀疏的圖，prim演算法叫做(節點擴充套件演算法)，適用於邊稠密的圖

makeset操作建立乙個包含|v|顆樹的集合，每顆樹只包含乙個節點，我們要為每個節點x新增兩個屬性

var makeset = (function()
})();

找到並返回x節點所在的那顆樹的根節點，用於判斷兩個節點是否在同一顆樹中，即是否相交

function find(x)

union函式旨在合併兩個節點，應該將這裡的合併和在圖g中的連通區分開，我們通過不斷呼叫union來改變makeset集合中元素的連通性，被合併的兩個節點會變成一顆數,當然讀者也可以實現自己的union,隨意實現都行，只有呼叫union操作之後改變了makeset,中圖的連通性，是的u，v節點處於同一顆樹就行,本文的union方法採用的思想是按秩合併(秩 rank)、路徑壓縮，通過這種方式建立的樹的節點分布,會比較均勻，平衡性較高，也就導致操作效率很高

function union(u, v) 
}

kruskal演算法旨在尋找最小生成數中包含哪些邊,在後面的完整**中，該函式的實現會有所不同，這裡著重體會原理

function kruskal(g, w) 
//對g.e按照邊的權中從小到大排序
for(let e of g.e) 
//由於邊已經按照從小到大的順序有序，所以這裡只需要尋找不相交的邊(邊所在的樹不相交)，
for(let e of g.e) 
}return a;
}

這裡的資料結構及如何建圖參照 bfs,dfs 演算法原理及js實現，這裡不做詳細說明

//頂點資料結構
function vertex() 
//資料結構 鄰接鍊錶-邊
function edge() 
//資料結構 圖-g
function graph() 
graph.prototype = 
//初始化 字典
for (let i in this.v) 
},//建立圖中 邊 的關係
initedge: (function() 
return function(edges) 
}}()),
storageedge: function(edges) 
}var vertexs = [, , , , ];
var edges = [,,
,,,,
,,,,
,,,]var g = graph();
g.initvertex(vertexs);
g.storageedge(edges);

執行這部分**，生成了用於kruskal演算法輸入的圖

測試的演算法的輸入圖為上圖，紅色的邊為最終最小生成樹包含的邊，出現順序依次為ac,de,ab,bd,這裡的輸入圖為無向圖

//快速排序 陣列a由物件組成 key為排序的參照指標 quicksort(0,a.length-1,a,'key')
function quicksort(left, right, a, key) 
}a[left] = a[i];
a[i] = benchmark;
quicksort(left, i - 1, a, key);
quicksort(i + 1, right, a, key);
}var makeset = (function() 
})();
//體會兩個 find 方法的不同
// function find(x) 
function find(x) 
function union(u, v) 
}function kruskal(g) 
//對g.e按照邊的權中從小到大排序
for(let e of g.e) 
for(let e of g.e) 
}return a;
}function vertex() 
//資料結構 鄰接鍊錶-邊
function edge() 
//資料結構 圖-g
function graph() 
graph.prototype = 
//初始化 字典
for (let i in this.v) 
},//建立圖中 邊 的關係
initedge: (function() 
return function(edges) 
}}()),
storageedge: function(edges) 
}//測試資料
var vertexs = [, , , , ];
var edges = [,,
,,,,
,,,,
,,,]var g = graph();
g.initvertex(vertexs);
g.storageedge(edges);
var a = kruskal(g);
console.log(a);

最小生成樹原理及Kruskal演算法的js實現

Kruskal最小生成樹及應用

kruskal 最小生成樹

最小生成樹Kruskal

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