二叉搜尋樹簡單介紹

2. 最大關鍵字元素和最小關鍵字元素

2. 插入和刪除

2. 刪除

1. 概述

一棵二叉搜尋樹是以一棵二叉樹組織的，其中每個結點就是乙個物件，每個節點包含屬性left、right、p，它們分別指向結點的左孩子，右孩子和雙親，如果某個結點的孩子的屬性值不在，則為nil。對任何結點x，x左子樹中的關鍵字最大不超過x.key，右子樹中的關鍵字最小不低於x.key。

二叉搜尋樹上基本操作所花費的時間與這棵樹的高度成正比。對於有n個節點的完全二叉樹來說，操作的最壞執行時間為θ(lgn),如果這棵樹是一條n個節點組成的線性鏈，操作的最壞執行時間為θ(n)

2. 查詢二叉搜尋樹

1. 查詢

通過輸入乙個指向樹根的指標和乙個關鍵字k查詢結點，如果結點存在，返回乙個指向關鍵字為k的節點的指標

1. 查詢偽**

iterative-tree-search(x, k)

while x ≠ nil and k ≠ x.key
if(k < x.key)
x = x.left
else x = x.right
return x

1. 最小關鍵字元素

通過樹根沿著left孩子指標直到遇到乙個nil,返回乙個指向在已給定結點x為根的子樹中的最小元素的指標。假設不為nil

2. 最小關鍵字元素偽**

tree-minimum(x)

while x.left ≠ nil
x = x.left
return x

tree-maximum(x)

while x.right ≠ nil
x = x.right
return x

如果乙個二叉樹所有的關鍵字都不相同，則乙個結點x的後繼是大於x.key的最小關鍵字的結點。

5. 後繼偽**

tree-successor(x)

if x.right ≠ nil
return  tree-minimum(x.right)
y = x.p
while y ≠ nil and x == y.right
x = y
y = y.p
retrun y

2. 插入和刪除

1. 插入

1. 插入偽**

tree-insert(t, z)

y = nil
x = t.root
while x ≠ nil
y = x
if z.key < x.key
x = x.left
else x = x.right
z.p = y
if y == nil
t.root = z
elseif z.key < y.key
y.left = z
else y.right = z

刪除會有以下四種情況：

結點z沒有左孩子，用右孩子r來替換z，其中r可以使nil，也可以不是

結點z有乙個左孩子h，但沒有右孩子，用h來替換z

結點z有兩個孩子，其左孩子是結點h，右孩子r還是其後繼，r的右孩子是結點x，用r替換z，修改h成為r的左孩子，但保留x仍為r的右孩子，

結點z有左孩子h和右孩子r且為q的孩子，並且z的後繼y ≠ r位於以r為根的子樹中，用y自己的右孩子來代替y，並且置y為r的雙親，然後再置y為q的孩子和h的雙親

1. 移動偽**

transplant(t, u, v)

if u.p == nil
t.root = v
elseif u == u.p.left
u.p.left = v
else u.p.right = v
if v ≠ nil
v.p = u.p

tree-delete(t, z)

if z.left = nil
transplant(t, z, z.right)
elseif z.right == nil
transplant(t, z, z.left)
else y = tree-minimum(z.right)
if y.p ≠ z
transplant(t, y, y.right)
y.right = z.right
y.right.p = y
transplant(t,z,y)
y.left = z.left
y.left.p = y

二叉搜尋樹 二叉搜尋樹

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