時頻分析短時傅利葉變換

1 傅利葉變換的缺陷

2 短時傅利葉變換（窗式傅利葉變換）

3 小波部分

4 補充部分

fft在平穩訊號的分析和處理中有著突出貢獻的原因在於，人們利用它可以把複雜的時間訊號和空間訊號變換到頻率域中，然後用相對簡單的頻譜特性去分析和發現原訊號的動態特性。

fft 正變換告訴我們：從時間（空間）訊號中提取訊號的頻譜資訊

但很難看出對應於頻率域成分的不同時間訊號的持續時間和發射的持續時間，缺少時間資訊使得傅利葉分析在更精密的分析中失去作用。

伊利諾依斯大學教授曾說：「若你記錄1小時長的資訊而在最後5分鐘出錯，這一錯誤就會毀了整個傅利葉變換。相位的錯誤是災難性的，如果在相位上哪怕犯了乙個錯誤，你最後就會發現你所幹的事與最初的訊號無關了。」

頻譜圖很乾淨

但是 x2=[x(1:50),x(1:50)];

而這個頻譜圖卻很雜亂，但事實上這兩個訊號的主頻應該是一樣的，只是相位發生了跳變，因此，相位很關鍵。

視窗傅利葉變換的逆變換式：

由短時傅利葉變換對函式（訊號）進行的分析，相當於用乙個形狀、大小和放大倍數相同的「放大鏡」在時－頻域平面上移動去觀察某固定長度時間內的頻率特性。這裡的問題是：儘管窗式傅利葉變換能解決變換函式的時域局域化問題，但是，其視窗的大小和形狀是固定的，即視窗沒有自適應性。這意味著什麼？不能針對具體的問題進行優化。

而實際問題中，則各個要求「私人定製」:

如果用固定的短時傅利葉變換，你選擇一扇寬窗子，低頻成分可以看得清楚，在高頻部分確定時間時就很糟糕；

若你選一扇窄窗子，在高頻可以很好確定時間，但在低頻的頻率就可能裝不進去。

這樣，真正合適的做法是「放大鏡」的長寬是可以變化的，正是為了實現這樣的目的，人們引進了小波變換。

短時傅利葉變換是最常用的一種時頻分析方法，它通過時間窗內的一段訊號來表示某一時刻的訊號特徵。在短時傅利葉變換過程中，窗的長度決定頻譜圖的時間解析度和頻率解析度，窗長越長，擷取的訊號越長，訊號越長，傅利葉變換後頻率解析度越高，時間解析度越差；相反，窗長越短，擷取的訊號就越短，頻率解析度越差，時間解析度越好，也就是說短時傅利葉變換中，時間解析度和頻率解析度之間兩者不可兼得，必須根據具體需求進行取捨。

簡單來說，短時傅利葉變換就是先把乙個函式和窗函式進行相乘，然後再進行一維的傅利葉變換。並通過窗函式的滑動得到一系列的頻譜函式，將這些結果依次開便得到乙個二維的時頻圖。

短時傅利葉變換的公式為

其中z(u)為源訊號，g(u-t )為窗函式。

參考：小波與短時

spectrogram函式

短時傅利葉變換

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原文：

時頻分析 短時傅利葉變換

時頻分析之短時傅利葉變換 STFT

短時傅利葉變換

短時傅利葉變換

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