## 視覺slam第二講:三維空間剛體運動
01 點與座標系
我們知道在乙個2d空間上，我們可以用兩個座標（x,y）加上旋轉角來表示乙個物體旋轉和平移的情況，那麼在3d空間中，我們怎麼表達這種情況呢？
在3d空間上，我們知道需要三個軸來表示乙個空間，常見的使用下面的兩種座標系的表示方法：右手定則和左手定則。
針對座標系中的點，我們可以使用帶有單位正交基底的座標來表示空間中的向量，這樣能夠進行下面的向量運算。
一般情況下，如果不宣告單位正交基底，我們是不能用座標來表示向量的。
在slam中，主要有固定世界座標系和移動的相機座標系，中間還有不同的感測器座標系。圖中(xc，yc，zc）表示相機座標系，(xw yw zw）表示世界座標系。
我們要想把相機座標系中的向量p表示在固定的世界座標系中，這樣我們是通過什麼操作呢？
02 旋轉矩陣
針對座標系的一次旋轉，我們通過下面的方程求解座標系中向量的變換：
在上式中r表示旋轉矩陣：
我們表示r12表示從2系到1系的變換矩陣：
在這種情況下，兩個座標系之間的關係完全可以通過r，t來描述。但是有時候我們表示旋轉加平移的情況時，我們會使用齊次矩陣來表示，這樣可以通過齊次矩陣的性質減小運算量。
我們把變換矩陣的集合稱為特殊歐式群，這裡不做介紹，後面課程還會有講解。因為我們只會用到三維座標，所以這裡使用的是se(3).
這裡要注意下變換矩陣逆的求解：
03 旋轉向量和尤拉角
除了使用旋轉矩陣/變換矩陣外，還有其他的表示方式：
下面給出以下羅德里格斯公式用於反對稱矩陣求旋轉矩陣的方法。
2.尤拉角
我們能夠通過旋轉來表示座標系的變換
下面的座標系通過旋轉z-y-x的順序，完成了旋轉。這樣我們也可以求得旋轉的座標。
但是尤拉角有乙個很大的缺點就是存在萬向鎖，在下圖的右圖中情況，我們向裡和向外旋轉的時候，旋轉的都是同乙個角度，存在奇異情況，所以一般我們在slam中很少用尤拉角表示姿態。
04 四元數
我們也可以通過乙個四元數來表示三維空間的情況，如下圖所示：在三維情況下，我們用乙個實部+三個虛部來表示四元數。
使用單位四元數可以表示旋轉情況：
下面是四元數的運算法則：
四元數能夠和角軸進行轉換運算：
我們用四元數來表示乙個點在空間旋轉後的運算：
第五節講解的是eigen庫，這是乙個矩陣運算的庫我們可以在ubuntu系統終端直接安裝
sudo apt-get install libeigen2-dev
eigen是乙個純標頭檔案的庫，不需要link，只需要在使用之前include即可。但是像open-cv的話既有標頭檔案也有原始檔，我們不但需要link，還有引標頭檔案，不然會報錯。今天的總結就到這裡，明天見！
提取碼：pgwb
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