如果我們考慮r2
中的單位圓，那麼其邊界顯然就是圓。但是對於更加複雜的情況，例如有理數，它的邊界是什麼在直觀上就不明顯，因此我們需要精確的定義。定義
6 對於r2
中的集合
a ，邊界定義為集合 bd(
a)=cl
(a)∩
cl(rn
∖a)有時候用符號∂a
=bd(a
) 。
所以根據定理
3(ii)
，bd(a
) 是閉集。另外需要注意的是bd(
a)=bd
(rn∖
a)。根據定理5，我們可以推出如下描述的邊界。定理
6 令a⊂
rn，那麼x∈
bd(a)
當且僅當對每個
ε>0,
d(x,
ε)包含
a 與rn
∖a的點(這些點可能是
x 本身)，如圖1所示。
圖1 原始的定義說明bd(
a)是a
與rn∖
a之間的邊界，這也就是定理6所說明的，因此定理6直觀上更加清晰。例1
： 令a=
，求bd(
a)。解：
bd(a)
=[0,
1]。因為對於任意
ε>0,
x∈[0
,1],
d(x,
ε)=(
x−ε,
x+ε)
包含有理數與無理數，也可以用原始定義來證明這個結論。這個例項說明如果a⊂
b ，不一定bd(
a)⊂bd
(b) (令
a 如上面所示，b是
r 中的[0
,1])
例2： 如果x∈
bd(a)
，x必須是聚點嗎？解：
答案為否。令a=
⊂r，那麼
a 沒有聚點，但是bd(
a)=0
。例3：
令s= ，求bd(
s)。解：
s 如圖2所示，很明顯bd(
s)有雙曲線x2
−y2=
1 組成。
圖2
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