最大子段和演算法分析

最大子段和問題(maximum interval sum)

一.問題描述

給定長度為n的整數序列，a[1...n], 求[1,n]某個子區間[i , j]使得a[i]+…+a[j]和最大.或者求出最大的這個和.例如(-2,11,-4,13,-5,2)的最大子段和為20,所求子區間為[2,4]。

二.演算法分析

1.窮舉法

1
int start = 0;//
起始位置
2int end = 0;  //
結束位置
3int max = 0;4
for(int i = 1; i <= n; ++i)517
}18 }

換一種窮舉思路,對於起點 i，我們遍歷所有長度為1,2,…,n-i+1的子區間和，以求得和最大的乙個.這樣也遍歷了所有的起點的不同長度的子區間，同時，對於相同起點的不同長度的子區間，可以利用前面的計算結果來計算後面的。就像傳遞陣列引數時往往傳的不是起止位置，而是起始位置和長度。

1
int start = 0;//
起始位置
2int end = 0;//
結束位置
3int max = 0;4
for(int i = 1; i <= n; ++i)516
}17 }

2.分治法

求子區間及最大和，從結構上是非常適合分治法的，因為所有子區間[start, end]只可能有以下三種可能性:

1.在[1, n/2]這個區域內

2.在[n/2+1, n]這個區域內

3.起點位於[1,n/2],終點位於[n/2+1,n]內

以上三種情形的最大者，即為所求. 前兩種情形符合子問題遞迴特性，所以遞迴可以求出. 對於第三種情形，則必然包括了n/2和n/2+1兩個位置，這樣就可以利用第二種窮舉的思路分別向左右擴張求出:

1
int maxinterval(int *a, int left, int
right)
217     sum = 0;18
int right_max = 0;19
for(int i = center+1; i <= right; ++i)
2025
int res = left_max+right_max;
26if(res 27         res =leftmaxinterval;
28if(res 29         res =rightmaxinterval;
30return
res;
31  }

3.動態規劃並擴充套件到二維空間

令b[j]表示以位置 j 為終點的所有子區間中和最大的乙個

子問題:如j為終點的最大子區間包含了位置j-1,則以j-1為終點的最大子區間必然包括在其中

如果b[j-1] >0, 那麼顯然b[j] = b[j-1] + a[j]，用之前最大的乙個加上a[j]即可，因為a[j]必須包含

如果b[j-1]<=0,那麼b[j] = a[j] ,因為既然最大，前面的負數必然不能使你更大

1 #include2  #include
3int a[101][101],b[101],c[101];4
int subsequencesum(int a,intn)5
30return
maxsum;
31}                     
32int
main()
3351                              ans=subsequencesum(b,n);//
算的是兩列間的和， 
52if(temp53                                  temp=ans;54}
55}56              printf("
%d\n
",temp);57}
58//
while(1);
59return0;
60  }

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