第三章 傅利葉級數

討論在某個區間上的函式f(x)

,如果該區間可以被分成段，使得每段內的函式f(x)

是連續的，且其導數df/dx

也是連續的，那麼稱為函式f(x)

在此區間上分段光滑。

在−l≤x≤l

區間上函式f(x)

和它的傅利葉級數（如下式）是不同的。這個無窮級數可能收斂也可能不收斂，即使收斂也可能不收斂於f(x)

顯然，當傅利葉係數存在時，傅利葉級數才存在。因此，滿足|∫−llf(x)dx|

的f(x)

才能寫出傅利葉級數。

由於傅利葉級數存在時也不一定收斂於f(x)

，寫出下面的記號：

符號∼讀作「（在給定區間上）有傅利葉級數」。當傅利葉級數收斂與f(x)

時，上式可以使用=號

如果f(x)

在區間−l≤x≤l

上是分段光滑的，則f(x)

的傅利葉級數收斂。且

正弦函式為奇函式，因此只需要f(x)

在0≤x≤l

上的資訊即可，然後對f(x)

進行奇延拓，就可以寫出函式的正弦級數。

## 余弦級數

同樣，對於然後對f(x)

進行偶延拓，就可以寫出函式的余弦級數。

至於要使用哪種級數則需要邊界條件來決定，有時使用傅利葉級數（既包含正弦又包含余弦）

任意函式都可以寫成奇部(fo(x)

)和偶部fe(x)

的形式:

f(x)=fo(x)+fe(x)=12[f(x)−f(−x)]+12[f(x)+f(−x)]

因此，

f(x)

的傅利葉級數等於奇部的正弦傅利葉級數加上偶部的余弦傅利葉級數。

對於傅利葉級數：

對於分段光滑的f(x)

，如果f(x)

是連續的，且f(−l)=f(l)

，則f(x)

的傅利葉級數是連續的，且在−l≤x≤l

上收斂於f(x)

顯然，對於定義在−l≤x≤l

上f(x)

的余弦級數，由於進行了偶拓展，滿足f(−l)=f(l)

，則 對於余弦級數，連續性定理為：

對於分段光滑的f(x)

，如果f(x)

是連續的，則f(x)

的傅利葉余弦級數是連續的，且在0≤x≤l

上收斂於f(x)

對於正弦級數，進行了奇延拓，連續定理為：

對於分段光滑的f(x)

，如果f(x)

是連續的，且f(0)=f(l)=0

，則f(x)

的傅利葉正弦級數是連續的，且在0≤x≤l

上收斂於f(x)

無窮級數，即使是收斂的無窮級數並不總是可以逐項微分。

可以證明以下定理：

**如果df/dx

分段光滑，乙個連續的傅利葉級數可以逐項微分

注意，這裡包含了傅利葉級數連續的條件。

證明思路為：（所有逐項微分的定理都可以用這個思路證明）

由於df/dx

分段光滑，可以寫出它的傅利葉級數。

寫出f(x)

的傅利葉級數，求出兩者係數的關係即可。具體證明如下：

利用傅利葉級數逐項微分定理，可以寫出

余弦級數逐項微分定理：

如果df/dx

分段光滑，連續函式f(x)

的傅利葉余弦級數可以逐項微分

正弦級數逐項微分定理：

如果df/dx

分段光滑，當f(0)=f(l)=0

時，連續函式f(x)

的傅利葉正弦級數可以逐項微分

特別的，使用上面的思路證明正弦級數逐項微分定理時可以得到，當f(0)=f(l)≠0

時，也有如下公式：

這裡只要求函式連續即可，因此，當函式連續，導數分段光滑時:

余弦級數逐項可微，

正弦級數不一定逐項可微，但是可以通過求導得到其導數的余弦級數

注意，這裡的傅利葉級數依賴於引數t。

分段光滑的f(x)

的傅利葉級數總是可以被逐項積分的，其結果是乙個收斂的無窮級數，該級數在−l≤x≤l

上收斂於f(x)

的積分但是要注意，逐項積分乙個傅利葉級數不一定得到另乙個傅利葉級數

條件傅利葉級數型別

結論範圍

f(x)

分段光滑

傅利葉級數

存在−l≤x≤l

f(x)

分段光滑，連續

余弦傅利葉級數

連續0≤x≤l

f(x)

分段光滑，連續，f(0)=f(l)=0

正弦傅利葉級數

連續0≤x≤l

dfdx

分段光滑，f(x)

分段光滑，連續

余弦傅利葉級數

逐項可微

0≤x≤l

dfdx

分段光滑，f(x)

分段光滑，連續，f(0)=f(l)=0

正弦傅利葉級數

逐項可微

0≤x≤l

u(x,t)

連續，∂u∂t

分段光滑

傅利葉級數

關於引數t

逐項可微

−l≤x≤l

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2017-09-05 17:23

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