二元運算
定義：集合上的任意兩個元素做運算後還落在這個集合中，則該運算為在該集合上的二元運算。
性質：交換律，結合律，分配律（左右同時滿足），消去律
特殊元：單位元（唯一），零元（唯一），逆元（互相為逆元）
半群代數系統在g上滿足結合律公升級為半群。
群若上述系統關於運算*有單位元e，則該系統為有么半群，若此時有么半群中任何x都有逆元x-（上標），且在g中，則為群。
總結一下：
對某代數系統證明其為群的步驟為：
1.證明運算為二元運算
2.證明結合律
3.證明單位元
4.證明逆元
群的性質
有限群，無限群，平凡群
群的階數：|g|
群中元素的次數，即使x的n次方等於e成立的最小正整數n
|a|=|a-1次方|
ak=lcm(k,n)/k
子群與陪集
子群子群的判定：h是g的非空子集，則h是g的充分必要條件為：任意a,b∈h，有a*b-1∈h
生成子群
由乙個元素和它的n次方生成的群∈g
子群的交集一定是爸爸群的子群，並集則需要滿足相交的兩個子群之間本身就要有包含關係。即是子群間相交部分才是爸爸群想要的子群。
陪集左陪集：
從爸爸群裡找元素，與h做運算，得到h的左陪集，同理右陪集
拉格朗日定理：子群的階數一定是群的階數的因數。
質數階群必定為迴圈群
迴圈群迴圈群是由乙個生成元a和其n次冪組成
若a是無限次元，則群中有兩個生成元，a和a-1
a是有限次元，則ak是生成元的條件是，k與n互質。
由拉格朗日定理：質數階群都是迴圈群
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