面試題9 斐波那契數列

題目1：寫乙個函式，輸入n，其斐波那契數列的第n項。

斐波那契數列的定義如下：

斐波那契數列的定義就是遞迴的，我們根據定義可以很簡單的寫出**。**如下：

#include#include
using
namespace
std;
//f(n)= n>=0
int fibonacci(int
n)void
main()

但是這樣的方法存在明顯的不足，該方法的時間複雜度是n的指數級別，隨著n的增大，運算時間不可想象，比如說f(50)就要很久。時間複雜度之所以這麼大，是因此計算過程中存在著重複計算。以f(10)為例，f(10)=f(9)+f(8)，f(9)=f(8)+f(7)。其中的f(8)就是重複計算的。

前面我們計算斐波那契數列是從後往前計算的，就是計算f(n)=f(n-1)+f(n-2)，然後再遞迴計算f(n-1)，又是從後往前計算，就是因為這樣的從後往前計算，所以才會有很多的重複計算。那麼我們可以逆轉思路，考慮從前往後計算。比如我們要計算f(4)，那麼我們就計算f(0)、f(1)、f(2)、f(3)，將這些計算出來的值儲存在乙個陣列arry[n+1]上，這樣計算斐波那契數列就相當於是乙個填表的過程。時間複雜度大大降低。**例項如下:

int fibonacci(int
n)        
int result=arry[n];
//因為動態建立的陣列不會因為出了作用域，記憶體就會被釋放。
//動態分配的陣列將一直存在，直到程式顯示釋放它為止，因此這裡使用delete 
//c++提供delete 表示式釋放指標所指向的陣列空間。
delete  arry;
return
result;}}

因為不知道要求的f(n)中的n有多大，因此不能事先開闢乙個陣列，需要動態建立陣列。而動態陣列與陣列變數不同，動態分配的陣列將一直存在，直到程式顯式釋放它為止。普通的陣列變數，只要出了陣列的作用於，其記憶體會自動釋放。

c++提供delete 表示式釋放指標所指向的陣列空間。delete arry;該語句**了arry所指向的陣列，把相應的記憶體返回給自由儲存區。在關鍵字delete和指標arry之間的方括號是必不可少的：它告訴編譯器該指標指向的是自由儲存區中的陣列，而非單個物件。delete arry只釋放了arry指標所指向的記憶體位址，理論上來說會少釋放了記憶體空間，從而產生記憶體洩露。

在方法2中，我們儲存了每乙個中間變數，但是仔細觀察我們可以發現沒有必要儲存每乙個中間變數，我們只需要儲存兩個臨時變數即可完成斐波那契數列的計算。具體**試下如下：

int fibonacci(int
n)        
return
fn;    }
}

這道題目的本質就是斐波那契數列。假設只有乙個台階，那麼只有一種跳法，那就是一次跳一級，f(1)=1；如果有兩個台階，那麼有兩種跳法，第一種跳法是一次跳一級，第二種跳法是一次跳兩級,f(2)=2。如果有大於2級的n級台階，那麼假如第一次跳一級台階，剩下還有n-1級台階，有f(n-1)種跳法，假如第一次條2級台階，剩下n-2級台階，有f(n-2)種跳法。這就表示f(n)=f(n-1)+f(n-2)。將上面的斐波那契數列**稍微改一下就是本題的答案。這列略之。

題目3：我們可以用2x1（2行1列）的小矩形橫著或者豎著去覆蓋更大的矩形。請問用8個2x1的小矩形無重複地覆蓋乙個2x8的大矩形，總共有多少種方法。

這道題目還是斐波那契數列的變種。設f(8)表示覆蓋2x8大矩形的方法綜述。假設第乙個小矩形是豎著去覆蓋大矩形，那麼還剩下由7個2x1的小矩形組成的大矩形f(7)；假設第乙個小矩形是橫著去覆蓋大矩形，那麼還剩下由6個2x1的小矩形組成的大矩形f(6)。即f(8)=f(7)+f(6)。依此類推，最後f(1)=1，f(2)=2。使用計算斐波那契數列的方法計算這道題目即可求出答案。

面試題9 斐波那契數列

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