現在，我們通過幾種不同的方法來闡述下尤拉公式的證明思想，即證明，e^πi + 1=0.
首先指數函式是定義在實數域上的，現在要延拓到複數域上，首先要定義e^i, e^ix是什麼，嚴格地說，這是一種定義，而且，這個定義是合理的.
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位，他將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在復變函式論裡占有非常重要的地位.
證法1：
泰勒中值定理：
若函式f(x)在開區間(a，b)有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為乙個關於(x-x0)多項式和乙個餘項的和：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!.(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!.(x-x0)^3+...+f(n)(x0)/n!.(x-x0)^n+rn
其中，rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!.(x-x0)^(n+1),這裡ξ在x和x0之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項.
注：f(n)(x0)是f(x0)的n階導數，不是f(n)與x0的相乘.
用此定理可以將任何有n階導數的函式展開成多項式的形式
所以，e^x,cosx,sinx：
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!...
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-...
在e^x的展開式中把x換成±ix，則：
e^±ix
=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!∓x^4/4!...
=(1-x^2/2!+...)±i(x-x^3/3!...)
所以，e^±ix=cosx±isinx
將x換成-x，可得：
e^-ix=cosx-isinx
然後採用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)
cosx=(e^ix+e^-ix)/2
這兩個也叫做尤拉公式
將e^ix=cosx+isinx中的x取作π
就得到：e^iπ+1=0
注：(±i)^2=-1,(±i)^3=∓i,(±i)^4=1...
證法2：
證明之前需要定義exp,sin,cos函式和π
1.定義exp
先來定義exp函式，我們定義復指數函式，對於z，定義exp(z)為：
採用復級數的比例判別法可知，對於每個z，exp(z)都收斂，還有，exp（z）在c是復解析的.
exp(z)的性質有：
exp(z+w)=exp(z)exp(w)
~exp(z)=exp(~z)
定義尤拉數e為：
根據exp函式的性質第一點可以證明，對於每個實數x，有exp(x)=e^x
根據這個命題，我們將互動的使用記號，exp(x)和e^x
但是，如果，z是複數，那麼，e^z則沒有指數的含義，只有exp(z)的另一種寫法.
2.定義三角函式
再來定義三角函式，如果，z是複數，那麼，定義：
分別把cos和sin叫做余弦函式、正弦函式.
由定義可知，對於複數z，有：
從exp的冪級數定義，可得：
一般我們只用到實三角函式，同樣三角函式在c上是復解析的，三角函式的性質有，設：x，y是實數，那麼，有如下各式：
且對於一切x∈r，有：
設，e是集合，e:=，根據三角函式的性質，可知，存在c>0，使得e包含於[c,∞)，且，還有e是r中的閉集，於是，e含有他的一切附著點，從而，含有inf(e).
3.定義π
定義π，為：
π:=inf
於是，π∈e包含於[c,∞)，那麼，π>0，而且，sin(π)=0,同樣，根據三角函式的性質，可以斷定：cos(π)<1，由於sin^2(π)+cos^2(π)=1，所以，cos(π)=-1.
於是，得到了尤拉公式
即，此公式，將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起.
兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學裡常見的0，數學家們評價他是上帝創造的公式，我們只能看他而不能理解他.
注意：r + v - e=2，這是尤拉定理，實際上，他是費馬小定理的推廣.
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