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北大出的那本《離散數學教程》是我所見過的最破的教材，裡面頻繁出現一些諸如假設m和n怎麼怎麼樣結果推出了p和q怎麼怎麼樣的印刷錯誤；在短短三頁紙中，「peano」被拼寫錯了四次，而且每次錯的都不一樣。
離散數學本身是相當科學的。離散數學中的證明，特別是圖論證明，都是相當有趣的。但是，課本上的證明寫得太醜了，符號和語言晦澀難懂，思維缺乏直觀性和啟發性。於是呢，我深刻體會到了這個blog存在的必要性。我非常反對缺乏直觀思維方式的證明過程。乙個合格的教科書需要在嚴格的形式證明之外附上一段證明思路的直觀描述。大家或許注意到了，我在寫blog時很不願意定義變數，能用自然語言描述的地方就盡可能用自然語言來說。在介紹種種精妙的趣題和證明時，我往往會改變證明步驟的順序和語言表述的方式，以順應人的直觀思維方式；否則，證明的巧妙性和啟發性很難被表現出來。
有趣的是，證明的美觀性很可能與實際採用的證明方法完全無關。本質相同的兩種證明方法，用不同的思維去考察，用不同的文字去講述，效果可能完全不一樣。不妨讓我們來看一看《離散數學教程》是如何證明完全圖k_5和完全二分圖k_3,3不是平面圖的。
定理：設g是連通平面圖，頂點數為v，邊數為e，g的各面的邊數至少是l，則e≤(v-2)l/(l-2)證明：用f_i表示第i個面的邊數。由euler公式，面數f=e-v+2，而2e=σ(f_i) ≥ l·f = l·(e-v+2)，可得
e≤(v-2)l/(l-2)
推論：完全圖k_5和完全二分圖k_3,3都不是平面圖
證明：(1)由於k_5是簡單圖，所以l=3，於是10=e≤(v-2)l/(l-2)=(5-2)·3/(3-2)=9，矛盾；
(2)由於k_3,3沒有奇數環，所以l=4，於是9=e≤(v-2)l/(l-2)=(6-2)·4/(4-2)=8，矛盾。
再來看一看來自proofs from the book第11章中的證明：
顯然，所有面所擁有的平均邊數為2e/f。k_5中有5個頂點、10條邊。若它是平面圖，則它應該有10-5+2=7個面，於是每個面平均擁有20/7條邊。
這說明該圖中至少存在乙個邊數小於3的面，但對於乙個簡單圖來說這是不可能的。
類似地，k_3,3中有6個頂點、9條邊。若它是平面圖，則它應該有9-6+2=5個面，於是每個面平均擁有
18/5條邊。這說明該圖中至少存在乙個邊數小於4的面，但對於乙個二分圖來說這是不可能的。
需要乙個證明自己的機會
如果這次沒有找到想要的工作的話，我想我也不會停止學習。工作也好，考試也好，對於目前的我而言，都是急需的鼓勵和證明。也不是證明給別人看，而是給自己乙個交代，給當初的選擇乙個判斷。累了倦了的時候會想，考個博士再回去逍遙幾年算了。可是生活真是由奢入簡難，估計現在過不了不買小熊的生活了。困得腦袋有點兒混，其...
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