bachet定理聲稱，若兩個正整數$a,b$互素，則存在整數$u,v$,使得
\begin
au+bv=1
\end
bachet定理的證明, 通常書上使用歐幾里德演算法，那是乙個構造性的證明,構造出了具體的$u,v$.但是bachet定理的乙個特殊情形不一定用到構造性的證明方法,只用到存在性的證明就足夠了.下面,我來給出弱bachet定理存在性的證明.
我先證明引理1:
證明:證明請參見我的博文乙個有限域的例子的最後一部分.那個證明是存在性的證明,不是構造性的.若正整數$a$是乙個素數，則對於集合$\$中的任何乙個元素$m$來說，都存在該集合中的唯一的乙個元素$n$,使得
\begin
mn\equiv 1 \mod a
\end
利用引理1很容易證明下面的弱bachet定理:
若正整數$a$是乙個素數，且正整數$b$不是$a$的倍數，則存在整數$p,q$,使得
\begin
pb+qa=1
\end
這是因為，$b$不是$a$的倍數，所以$b$關於模$a$的非負的最小剩餘在集合$\$裡，設該非負的最小剩餘為$t$,即$t\in\$,且
\begin\label
b\equiv t \mod a
\end
由引理1可知，存在$\$裡的唯一元素$n$,使得
\begin
tn\equiv 1\mod a
\end
結合\ref,再根據同餘的性質可知
\begin
bn\equiv tn \equiv 1 \mod a
\end
即$bn+ak=1$,其中$k$是乙個整數.$\box$
注:如要再進一步把弱bachet定理推廣成bachet定理，同時避免用到歐幾里德演算法，實在已經非本人能力所及了.就此打住吧.
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