OpenCASCADE解非線性方程組

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abstract.在科學技術領域裡常常提出求解非線性方程組的問題，例如，用非線性函式擬合實驗資料問題、非線性網路問題、幾何上的曲線曲面求交問題等。opencascade中有關於非線性方程組定義的類及其求解類，本文主要介紹如何在opencascade中定義非線性方程組，及對其進行求解。

key words.function set, function set root, newton raphson algorithm

在科學技術領域裡常常提出求解非線性方程組的問題，例如，用非線性函式擬合實驗資料問題、非線性網路問題等。在幾何造型中很多問題也可以利用非線性方程組來解決。如曲線的光順，曲線求交、曲面求交、blend造型問題等。

opencascade提供了非線性方程組的類math_functionset，可以先從類圖上來看看有哪些演算法使用了這個類：

圖1 曲線光順包fairecurve

圖2 blending su***ce between two su***ces

感興趣的同學可以自己開啟opencascade的類索引檔案檢視。可以看到很多演算法涉及到方程組的求解問題。本文主要介紹如何定義非線性方程組及對其進行求解。理解這些套路後，對math_functionset相關的派生類及其用用途就會有個清晰的認識，便於對原始碼的理解。

設有非線性方程組

為實變數的非線方程函式。引入向量形式表示，引進記號：

於是非線性方程組可以簡單記作：f(x)=0。我們的問題是尋求x使f(x)=0，這個x就是非線性方程組的解。

opencascade中使用類math_functionset來表示方程組，這是個抽象類，定義了如下純虛函式：

l nbvariables()：變數的個數，即末知量的個數；

l nbequations()：方程的個數，即方程組中有幾個方程；

l value(const math_vector&x, math_vector& f)：方程組的值，即代入變數每個方程的值；

解非線性方程組的牛頓法和解方程式的思路一樣，要求方程有一階導數。而非線性方程組即是要求有偏導數。由fi(x)偏導數作成的矩陣記為j(x)或f』(x)，稱為f(x)的jacobi矩陣：

求解非線性方程組的牛頓法為：

其中xk為方程線的近似解向量。

opencascade中也提供了非線性方程組的求解類，如：math_functionsetroot，math_newtonfunctionsetroot。而使用這些類的輸入都是要求具有一階偏導數的線性方程組的定義math_functionsetwithderivaties。這個類定義了具有一階偏導數的非線性方程組，其純虛函式除了前面說明的幾個以外，還增加了如下兩個：

l derivatives(const math_vector& x, math_matrix& d)：一階偏導數值，即計算jacobi矩陣；

l values(const math_vector& x, math_vector& f, math_matrix& d)：計算方程的值及一階偏導數矩陣jacobi矩陣。

下面給出乙個具體的例子來說明這些類的用法。設有非線性方程組：

從幾何上看其解就是圓心在原點，半徑為2的圓與曲線的交點：

圖3 圓與曲線求交

下面我們使用opencascade來對上述問題進行求解。首先定義這個非線性方程組： 

#include #include #include #pragma comment(lib, "tkernel.lib")

#pragma comment(lib, "tkmath.lib")
class myfunctionset : public math_functionsetwithderivatives
virtual standard_integer nbequations() const
virtual standard_boolean value(const math_vector& x, math_vector& f)
virtual standard_boolean derivatives(const math_vector& x, math_matrix& d)
virtual standard_boolean values(const math_vector& x, math_vector& f, math_matrix& d)
private:
};void test()
// 2. (1.0, -1.0)
astartingpoint(1) = 1.0;
astartingpoint(2) = -1.0;
asolver.perform(afunctionset, astartingpoint);
if (asolver.isdone())
}int main(int argc, char* ar**)

然後使用類math_functionsetroot來對方程組進行求解，求解的結果如下圖所示：

圖4 非線性方程組求解結果

由圖3可知，兩個曲線相交有兩個交點，但是使用類math_functionsetroot一次只能計算乙個解。從圖4的計算結果還可以看出，初值的選擇對解的影響很大，既影響計算結果，也影響迭代次數。

綜上所述，opencascade的math工具箱中提供了方程組的定義、求解功能。其中對非線性方程組求解使用的是newton迭代法，所以要求方程組必須實現計算一階偏導數的虛函式，即計算jacobi矩陣。

從opencascade類圖中可以看出，方程組定義類用在了很多地方，所以理解上述對方程組的定義及解的用法，對其他使用這個派生類的地方更容易其原始碼。

同濟大學數學教研室. 高等數學 第四版. 高等教育出版社. 2004

易大義, 沈雲寶, 李有法. 計算方法. 浙江大學出版社. 2002

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