線性與非線性

就是變數是一次的就叫做線性，否則就是非線性。

不過每個具體問題都不盡相同。

1. 比如線性函式，就是自變數都是一次的，f(x1,x2,...,xn)=a0+a1x1+a2x2+...+anxn ；

「線性」與「非線性」，常用於區別函式y = f(x)對自變數x的依賴關係。線性函式即一次函式，其影象為一條直線。其它函式則為非線性函式，其影象不是直線。

線性，指量與量之間按比例、成直線的關係，在空間和時間上代表規則和光滑的運動；而非線性則指不按比例、不成直線的關係，代表不規則的運動和突變。

線性關係是指自變數x與因變數yo之間可以表示成y=ax+b ,（a,b為常數），即說x與y之間成線性關係。不能表示成y=ax+b ,（a,b為常數），即非線性關係，非線性關係可以是二次，三次等函式關係，也可能是沒有關係。

2. 線性方程

線性指的是方程中函式的導數和函式本身都是一次的,但這裡僅僅是對於y本身來說,對x沒限制.

也就是說y'+p(x)y+q(x)=0的形式.其中對於p(x)和q(x)並不做限制.

形式如(y')²+p(x)y+q(x)=0, y'+p(x)y²+q(x)=0等形式的就不再是線性方程.

3.又比如，

微分方程：一般的凡是表示未知函式、未知函式的導數與自變數之間的關係的方程，叫做微分方程。未知函式是一元函式的，叫常微分方程；未知函式是多元函式的叫做偏微分方程。微分方程有時也簡稱方程。 f(x,y',y'',…``…y(n))=0

線性微分方程，就是關於各個變數的各階導數都是一次的，注意是次數是一次，而不是指的一階導數。y''(x)+y'(x)=0就是線性微分方程，[y'(x)]^2+y'(x)=0就是非線性的。

具體點說：

線性微分方程，是指以下形式的微分方程：

其中微分運算元

l是線性運算元，y是乙個未知的函式，等式的右面是乙個給定的函式。l是線性的條件，排除了諸如把y的導數平方那樣的運算；但允許取y的二階導數。因此，線性微分方程的一般形式是：

其中d是微分運算元d/dx（也就是dy = y' ，d

2y = y"，……），ai

是給定的函式。這個微分方程是n階的，因為方程中含有y的n階導數，而不含n+1階導數。

如果 f(x) = 0，那麼方程便稱為齊次線性微分方程，它的解稱為補函式。這是一種很重要的方程，因為在解非齊次方程時，把對應的齊次方程的補函式加上非齊次方程本身的乙個特解，便可以得到非齊次方程的另外乙個解。如果ai

是常數，那麼方程便稱為常係數線性微分方程。