1. 二維平面上的曲線方程
y=f(x)
以上方程中，對任意x（暫不考慮定義域），都有乙個y與之對應，因此表示的是一條曲線。
寫成引數形式：x=f(t), y=g(t)。
或進一步寫成向量形式：r(t)=f(t)i + g(t)j。
1.1 曲線長度
將曲線上的每一小段dx都看做近似平直，那麼每一小段的長度是sqrt[(dx)2+(kdx)2]=sqrt(1+k2)dx，k為小段斜率。
如果是引數化的曲線方程r(t)=f(t)i+g(t)j，那麼每一小段的弧長是sqrt[(kxdt)2+(kydt)2]，kx和ky是當引數t變化dt時，x=f(t)和y=g(t)的變化率。
2. 空間曲線
對任意乙個x，只能有乙個y和z與之對應。即x，y，z互相限制。因此一般寫成引數形式：
x=f(t), y=g(t), z=h(t)
對任意單個引數t，只有一組x,y,z。
也可寫成向量形式。
2.1 空間直線
x=x0+tv1, y=y0+tv2, z=z0+tv3
寫成向量形式：
= + t
直線上任意一點所對應的向量是兩個向量之和，直線上每一點都對應乙個向量。
3. 空間曲面
3.1 顯式或隱式曲面方程
z=f(x,y)或f(x,y,z)=0
以上方程中，對任意一對x,y，都有乙個z與之對應，因此表示的是乙個曲面。
3.2 空間平面
3.3 引數曲面
r(u,v)=
該方程將曲面上每一點都用乙個向量來表示。
對每一對(u,v)，都有乙個向量與之對應。
對於最簡情況，f(u,v)=x，g(u,v)=y，z=h(u,v)。
[和引數曲線對比：在那裡，表示曲線上每一點需要乙個引數t；而此處為了表示曲面需要兩個引數(u,v)。]
[借用線性代數裡的概念，空間(一維)曲線方程描述r1(一維變數t)到r3(三維空間的一維曲線)的對映；空間(二維)曲面方程描述r2(二維平面uv)到r3(三維空間的二維曲面)的對映。和線性代數不同的是，這裡的對映可能是非線性的。]
3.3.1 引數曲面面積
積分式模擬於引數曲線弧長。
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