Floyd演算法思想

floyd演算法是乙個經典的動態規劃演算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規劃的角度看問題，我們需要為這個目標重新做乙個詮釋（這個詮釋正是動態規劃最富創造力的精華所在），floyd演算法加入了這個概念

ak(i,j)：表示從i到j中途不經過索引比k大的點的最短路徑。

這個限制的重要之處在於，它將最短路徑的概念做了限制，使得該限制有機會滿足迭代關係，這個迭代關係就在於研究：假設ak(i,j)已知，是否可以藉此推導出ak-1(i,j)。

假設我現在要得到ak(i,j)，而此時ak(i,j)已知，那麼我可以分兩種情況來看待問題：1. ak(i,j)沿途經過點k；2. ak(i,j)不經過點k。如果經過點k，那麼很顯然，ak(i,j) = ak-1(i,k) + ak-1(k,j)，為什麼是ak-1呢？因為對(i,k)和(k,j)，由於k本身就是源點（或者說終點），加上我們求的是ak(i,j)，所以滿足不經過比k大的點的條件限制，且已經不會經過點k，故得出了ak-1這個值。那麼遇到第二種情況，ak(i,j)不經過點k時，由於沒有經過點k，所以根據概念，可以得出ak(i,j)=ak-1(i,j)。現在，我們確信有且只有這兩種情況---不是經過點k，就是不經過點k，沒有第三種情況了，條件很完整，那麼是選擇哪乙個呢？很簡單，求的是最短路徑，當然是哪個最短，求取哪個，故得出式子：

ak(i,j) = min( ak-1(i,j), ak-1(i,k) + ak-1(k,j) )

因此floyd的最外層迴圈：

for (k = 0; k < n; k++) ...

就是分別求出 a0(i,j), a1(i,j), ..., an(i,j)

演算法描述：

(1) 用陣列dis[i][j]來記錄i,j之間的最短距離。初始化dis[i][j],

若i=j則dis[i][j]=0,

若i,j之間有邊連線則dis[i][j]的值為該邊的權值，否則dis[i][j]的值為。

(2) 對所有的k值從1到n,修正任意兩點之間的最短距離,計算dis[i][k]+dis[k][j]的值，若小於dis[i][j],則dis[i][j]= dis[i][k]+dis[k][j]，否則dis[i][j]的值不變

程式：

1
void floyd(int dis[n + 1][n + 1], int path[n + 1][n + 1], intn)2
11}12}
13}14 }

正確性證明(歸納法) ：

對於任意兩點a，b：

（1）當從a到b之間的最短路徑，在中間沒有經過頂點或經過1個頂點號為1的頂點時，演算法顯然正確。

（2）假設a到b經過的最大頂點號不超過k-1時，演算法得到的最短距離是正確的

（3）當a到b經過的最大頂點號為k時，則從a到頂點號為k的頂點v 之間的頂點號均不大於k-1，從v 到b之間的頂點號也不大於k-1，由假設2得，

a到vk的距離是中間頂點號不超過k-1的最短距離，vk到b的距離是中間頂點號不超過k-1的最短距離，所以a經vk到b為a，b之間經過最大號

為k的路徑中距離最短的，由演算法修正a，b的最短距離，即可得到a，b間頂點號不超過k的最短距離。

（4）綜上所述，演算法是正確的

時間複雜度：o（n3）

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