Floyd演算法簡介

參考：

一.floyd演算法的介紹

1.演算法的特點：

弗洛伊德演算法是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，可以正確處理無向圖或有向圖或負權（僅適合權值非負的圖)的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。

2.演算法的思路：

通過floyd計算圖g=(v,e)中各個頂點的最短路徑時，需要引入兩個矩陣，矩陣s中的元素a[i][j]表示頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。矩陣p（記錄最短路的路徑需要，若題目不需要求路徑則不需要p陣列）中的元素b[i][j]，表示頂點i到頂點j經過了頂點b[i][j]。

假設圖g中頂點個數為n，則需要對矩陣d和矩陣p進行n次更新。初始時，矩陣d中頂點a[i][j]的距離為頂點i到頂點j的權值；如果i和j不相鄰，則a[i][j]=∞，矩陣p的值為頂點b[i][j]的j的值。接下來開始，對矩陣d進行n次更新。第1次更新時，如果」a[i][j]的距離」 > 「a[i][0]+a[0][j]」(a[i][0]+a[0][j]表示」i與j之間經過第1個頂點的距離」)，則更新a[i][j]為」a[i][0]+a[0][j]」,更新b[i][j]=b[i][0]。同理，第k次更新時，如果」a[i][j]的距離」 > 「a[i][k-1]+a[k-1][j]」，則更新a[i][j]為」a[i][k-1]+a[k-1][j]」,b[i][j]=b[i][k-1]。實質上是揹包dp問題，最外層迴圈是k，表示利用前k個作為中間計算a[i][j]的最小值，本來需要三位陣列a[k][i][j]，因為第k次迴圈只會用到a[k-1][i][j]，所以利用滾動陣列，使用二維陣列即可。更新n次之後，操作完成！時間複雜度為o(n^3)，空間複雜度為o(n^2)。

核心**：

1
for(k=0;k)
2for(i=0;i)
3for(j=0;j4
if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])
5                      a[i][j]=a[i][k]+a[k][j],b[i][j]=b[i][k];

只有5行！現在你會發現這個看起來很高大上的演算法很簡單了，算是最短路的4個演算法裡最暴力的了！

3.例項：

題意：有n種動物，m種直接轉換的咒語，且轉換具有傳遞性，求從哪一種動物到另一種的動物的最長咒語的最小值，若不能轉換到所有動物，則輸出0.

思路：floyd演算法的裸應用，將動物抽象為點，咒語長度抽象為邊的權值，**如下：

#includeusing
namespace
std;
const
int inf=0x3f3f3f3f
;int
n,m,a,b,c;
int mp[105][105
];int
main()
for(int k=1;k<=n;++k)
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
if(mp[i][j]>mp[i][k]+mp[k][j])
mp[i][j]=mp[i][k]+mp[k][j];
int maxi,minv=0,res=inf;
for(int i=1;i<=n;++i)
if(minv)
printf(
"%d %d\n
",minv,res);
else
printf(
"0\n");
return0;
}

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