以下文字均假設所求分布存在。
設函式y=f(x)單調遞增，若隨機變數x變化範圍是[x, x+dx]，且由此引起的y變化範圍是[y, y+dy]，那麼
p(x < x < x+dx)=p(y < y < y+dy)
若單調遞減，dy<0，上式就成為
p(x < x < x+dx)=p(y+dy < y 也就是：∫x,x+dxf(x)dx=±∫y,y+dyf(y)dy
上面兩邊分別微分，就有：
fx(x)dx=fy(y)|dy|
若y=f(x)的反函式是x=h(y)，那麼：
fy(y)=fx(h(y))|dx/dy|
於是就得到隨機變數函式的分布：
[式1]
直觀上可以用最簡單的例子y=kx和[0,1]上的均勻分布來理解(k>1)。
y是[0,k]上的均勻分布。要保持密度函式積分為1，y在單位長度上取值的概率將下降到原來的1/k，或者說按照dx/dy（斜率的倒數）下降。
隨機變數函式的聯合分布：
令
那麼[式2]
以上兩個求隨機變數函式（聯合）分布的式子實際上有共同的形式；
你只要用反函式求導公式將[式1]中的導數式子改寫，就可以得到和[式2]類似的形態：
隨機變數函式的（聯合）分布等於：
用隨機變數函式的反函式替換分布函式中的變數得到的式子-乘以-隨機變數函式的反函式的導數。
-或-用隨機變數函式的反函式替換分布函式中的變數得到的式子-乘以-隨機變數函式的雅可比行列式的倒數。
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