隨機變數的分布與分位數概念

2021-07-23 02:01:19 字數 1694 閱讀 5247

在質量工程師的培訓中,我們經常詢問學員以下圖形是什麼曲線,學員普遍能夠回答是正態分佈曲線,但進一步詢問學員該曲線的縱軸f(x)表示什麼,許多同學以為是概率值。

其實這個曲線是正態分佈概率密度曲線,f(x)是指隨機變數x在觀察值為x時的概率密度,如果隨機變數x的單位為mm,則f(x)的單位為%/mm。

曲線與x軸所圍成的面積表示概率,該面積等於1,因為隨機變數的所有可能取值(即:100%)都在x軸上。

以下是乙個均值=10,標準差=0.5的正態分佈概率密度曲線的例子,x=9.020的垂線與該分布的概率密度曲線和x軸所圍成的左側區域面積=0.025,該面積表示在隨機變數x的總體分布中,有2.5%的值小於9.020,也就是說在總體分布中,隨機變數x的取值小於9.020的概率為2.5%。同樣,x=10.98的垂線與該分布的概率密度曲線和x軸所圍成的右側區域面積=0.025,該面積表示在隨機變數x的總體分布中,有2.5%的值大於10.98,也就是說在總體分布中,隨機變數x的取值大於10.98的概率為2.5%(也即是隨機變數x的取值小於10.98的概率為97.5%)。在這個分布中,x=9.020的值被稱為x的2.5%分位數(即:x2.5%=9.020),x=10.98的值被稱為x的97.5%分位數(x97.5%=10.98)。隨機變數x有95%(即:97.5% - 2.5%=95%)的取值落在9.020至10.98之間。每個分位數都是隨機變數所有可能取值中的某個值。按照定義,若某個值xp被稱為隨機變數x的p分位數,則隨機變數x的取值小於xp的概率為p。

以下是該正態分佈對應的累積概率分布曲線,該曲線的縱軸表示的是累積概率,比如:x=9.020對應的累積概率為2.5%(即:隨機變數x的取值小於x=9.020的概率為2.5%), x=10對應的累積概率為50%(即:隨機變數x的取值小於x=10的概率為50%), x=10.98對應的累積概率為97.5%(即:隨機變數x的取值小於x=10.98的概率為97.5%)。

分位數的概念很重要,我們在研究過程能力時,通常將被研究過程的特性的99.865%分位數與0.135%分位數的差值(即:被研究過程的特性其中間99.73%的區間範圍)定義為過程變異(process variation)的寬度。建立spc控制圖,如:均值極差(xbar-r)控制圖時,也是分別以樣本均值和樣本極差的0.135%分位數和99.865%分位數作為下控制限(lcl)和上控制限(ucl)。

對於服從正態分佈的過程的特性x,其0.135%分位數x0.135%=μ-3σ,99.865%分位數x99.865%=μ+ 3σ,因此,過程變異的寬度=6σ。

對於服從任意分布的隨機變數,過程變異的寬度= x99.865% - x0.135%

。以下是任意分布時的概率密度分布曲線的例子。隨機變數取值x=xi

時的概率p(x=xi

)=△xf(x),因為△x趨於0,因此在連續分布中,隨機變數取值x=xi

的概率p(x=xi

)趨於0。

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