設 $f(x)$ 是 $[0,\infty)$ 上的單調函式， 則對任意固定的 $a$, 有 $\dps\int_0^a f(x)\sin nx\rd x =0}$; 若同時還有 $\dpsf(x)=0}$, 則 $\dps\int_0^\infty f(x)\sin nx\rd x=0}$.
證明:(1) 由積分第二中值定理知 $$\beex \bea \sev &=\sev\\ &=\sev+f(a)\frac }\\ &\leq \frac \eea \eeex$$ 即知結論.
(2) 不妨設 $f\geq 0$, 否則利用 $$\bex \int_0^\infty f(x)\sin nx\rd x=-\int_0^\infty [-f(x)]\sin nx\rd x. \eex$$ 由 $$\beex \bea \int_0^\infty f(x)\sin nx\rd x &=\int_0^f(x)\sin nx\rd x +\int_^f(x)\sin nx\rd x +\int_^f(x)\sin nx\rd x+\cdots\\ &\geq \int_0^f(x)\sin nx\rd x +f(3\pi)\int_^\sin nx\rd x +f(3\pi)\int_^\sin nx\rd x+\cdots\\ &=\int_0^f(x)\sin nx\rd x,\\ \int_0^\infty f(x)\sin nx\rd x &=\int_0^\pi f(x)\sin nx\rd x +\int_\pi^f(x)\sin nx\rd x +\int_^f(x)\sin nx\rd x+\cdots\\ &\leq \int_0^\pi f(x)\sin nx\rd x +f(2\pi)\int_\pi^\sin nx\rd x +f(2\pi)\int_^\sin nx \rd x+\cdots\\ &=\int_0^\pi f(x)\sin nx\rd x \eea \eeex$$ 知 $$\bex \int_0^f(x)\sin nx\rd x\leq\int_0^\infty f(x)\sin nx\rd x\leq \int_0^\pi f(x)\sin nx\rd x. \eex$$ 由夾逼原理及 (1) 即知結論.
注: 本題證法有誤. 歡迎提出新證明. 時間有限, 我沒有...[正確解答鏈結]
Burnside引理的感性證明
burnside 引理的感性證明 l frac sum t i 我們以 2 2 的方格圖染色來舉例感性證明。每個格仔有 2 種方案，不考慮旋轉重構一共就有 16 種。其中對於每一種等價類 也可以稱之為 旋轉軌道 他們上面的所有方案都是旋轉重構的，我們只需要記一次就可以了。也就是說，我們所求的本質不同...
Java 類呼叫的幾種情形
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資料分箱的適用情形
資料分箱是下列情形下常用的方法 1.某些數值自變數在測量時存在隨機誤差，需要對數值進行平滑以消除噪音。2.有些數值自變數有大量不重複的取值，對於使用 等基本操作符的演算法 如決策樹 而言，如果能減少這些不重複取值的個數，就能提高演算法的速度。3.有些演算法只能使用分類自變數，需要把數值變數離散化。資...