pso(粒子群演算法)是群智慧型演算法的一種，其他的群智慧型演算法還有蟻群演算法，遺傳演算法等。其他的智慧型演算法還有模擬退火。之前看過一段時間的pso，商務智慧型課程最後的大作業便想用一下，剛好在github上看到有人用模擬退火解決tsp問題，而且效果不錯，於是便萌生了利用pso求解tsp問題的想法。
tsp問題想必大家再熟悉不過了，它是乙個np-hard問題，難以用暴力列舉的演算法進行計算。針對np-hard問題，有許多方法可以求得其近似解，而且效果不錯，進化計算演算法和群智慧型演算法便是其中之一。
之前也在部落格上看過其他人用pso求解tsp問題，主要有一下幾個問題：
tsp問題的規模相對較小
對於規模較大的問題，結果並不算太好。
一般而言，如果不考慮對tsp問題的額外的處理方式，直接用pso演算法，對於一些規模較小的問題（節點數量一般不超過20），pso演算法的效果還行，但是，當問題的規模變得比較大時（50及以上），pso演算法就無能為力。乙個重要的原因在於當節點數量增加時，問題的複雜度會變得很大，pso演算法會陷入區域性最優，而且這個區域性最優往往離最優解很遠。這個時候，有兩種選擇，一是改進pso演算法本身，這個基本很難，我嘗試過，效果並不太好，pso演算法的模式基本都是固定的，如果只改變速度中的權重或是簡單的調參，收效甚微；二是改變對tsp問題的編碼以及粒子速度與位置的定義，使問題本身相對更加容易處理。我用的是第二種方法。
對於tsp問題，我們一般將粒子的位置定義為乙個位置點的序列。比如，它表示的是一條路徑，即1->2, 2->3, 3->4, 4->5, 5->1(我選的tsp問題是乙個環路，所以最後的路徑會成環)，路徑的長度可以計算每一條邊的長度並求和得到，邊的距離是兩點之間的歐氏距離（問題中的點都是二維的）。
tsp問題中粒子的速度是粒子在當前解空間的運動速度，一般是與粒子當前位置和粒子群體的歷史最好位置的差成正比（有時還要考慮粒子當前位置與粒子的歷史最好位置的差）。
在此問題中，粒子的速度被定義為乙個二元組合，表示當前路徑（即粒子的位置）的乙個交換操作。比如（2，3），表示對當前粒子位置中節點2和3進行一次交換操作。粒子的速度可以與位置進行求和，例如，+=。和是兩個相同的速度，交換不會考慮粒子的先後順序。速度的長度定義為元組的個數。
a. 位置-位置=速度
位置相減會得到乙個速度，即乙個元組序列。例如，-=，我們可以這樣看，兩個速度的差別在於3，4兩個節點的位置不同，只需將第二個速度進行一次節點的交換便可得到第乙個速度。
b. 速度+速度=速度
兩個速度相加會得到乙個新的速度。比如+=。如果有重複的元組，則會去掉相應的重複項（因為兩個相同的交換操作會相互抵消）。+=。
c. 速度*常數=速度
速度乘以常數會得到乙個速度，只不過這個速度的長度和新的速度長度不同。
speed_1*c=speed_2, 則*0.5=。
d. 位置+速度=位置
位置和速度相加會得到乙個新的位置。比如，+=。按照速度中的元組對位置進行相應變換即可。
e.滑動運算
滑動操作是對粒子的位置進行操作。假定速度x=, sl(x,k)=。這裡定義這個運算的原因在於粒子速度的等價性。比如，與，它們是兩個相同的速度，但是表示不同，如果直接對其做差，相當於做了一次氣泡排序，但是事實上他們的差值應該為0。所以，我們在對速度進行做差時，會用速度的n-1個等義（相當於n-1次滑動運算的結果）表示進行做差，取其中長度最小的速度作為最後的結果。
f.交叉消除
這個運算可以說是這個問題的核心。我在用一般的pso演算法進行求解的時候，發現了乙個問題，就是結果中的路徑會有大量的交叉。
如上圖所示，而且我在部落格上看很多人利用pso演算法求解tsp問題的時候也有同樣的問題。這是乙個很重要的原因，因為大多數的解空間都會有大量的不好的解，這些不好的解的原因在於它們存在大量的邊的交叉。於是，我們定義了消除交叉的操作。具體請看下圖
這個演算法不是簡單的將兩條邊進行交換就完事了，我嘗試過這種操作，效果很不好。它會將後面的邊也進行交換。只改變了交叉的邊的那一部分，對後面的操作沒有影響。
最後的結果如下圖：
可以看到，與之前相比好了很多，而且與最優解非常接近，除了一些小的瑕疵。
下面是我參考的一些資料。
1.測試資料
2.參考**
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