以下介紹的是康托想出的有理數與自然數對應方式，表中的 (p, q) 表示 p/q。 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) … (1, n) … (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) … (2, n) … … … … (m, 1) (m, 2) (m, 3) (m, 4) … (m, n) … 表中 p+q 的值在同乙個由右下至左上同一列是相等的，由左上角 (1, 1) 開始，p+q 的值是 2，之後是 (2, 1) 和 (1, 2)，而 p+q 的值是 3，這樣一直排下去，(1, 1),(2, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 2),(3, 1),(4, 1),...，就把有理數乙個個地排成一列。這樣，有理數集是有序集合了（可數集合）。所以，有理數集能與自然數集一一對應，可說成兩個集合元素個數相同
要證明無理數集是不可數集，按照下面的步驟就可以證明（可以把前三個看成是引理）：
1先證有理數集是可數集：
建立這樣乙個對映: 對於任意乙個有理數m/n(既約)，構造對映
y=(2^n)(3^m)，y是自然數，那麼對於不同的m/n，一定有不同的自然數y。所以自然數集的基數不少於有理數集的基數。反過來，自然數是有理數的子集，所以自然數集的基數又不大於有理數集的基數，綜上，兩集合基數相等，所以有理數集是可數集。
2再證有限個可數集的並集還是可數集。容易找到一種排列順序，把這可數個可數集的元素按順序排列起來，這就證明了它的可數性。
3接著證實數集是不可數集，關於這個的證明很多教材上都有，也有不止一種方法，我就不贅述了，基本是用反證法，即先用一種排列去表示實數集，再由這種表示法推出一定有乙個實數不能被這種排列所表示，由此推出矛盾。
4最後證明無理數集是不可數集。反證：因為如果無理數集是可數集，那麼實數集等於有理數與無理數的並，也應該是可數集，與實數集是不可數集矛盾，所以無理數集是不可數集
摘自：證明實數是不可數集合：
假設實數是可數集合，則可列出（0，1）間的所有實數：
0.t11t12.....t1n
0.t21t22.....t2n
0.t31t32.....t3n
......
現在可以找出乙個實數h=0.ti1ti2...tin, 令ti1!=t11,ti2!=t22,...tii!=tnn(這個數是可以找到的)，那麼可知h是不在上面列出的所有實數中的，所以假設不成立，得出實數不可數。
可數集合：能和自然數一一對應的集合，同理有理數也和自然數一樣是可數的，因此無理數只能是不可數集合了。這也證明了無理數比有理數要多。
有理數 無理數 根號2 勾股定理
數學史上畢達哥拉斯學派對整數有著近乎瘋狂的迷信，認為世界上所有的東西都是整數或者有理數 兩個整數的比，據說發現了勾股定理。任何乙個直角三角形abc ac b b c a三個點對應的三個邊為a,b,c，則 a a b b c c 據說後來畢達哥拉斯的門徒發現，如果等腰直角三角形，既a b 1的時候，這...
根號 2 是無理數的證明
首先宣告一些基本事實 所謂偶數還是奇數，分別的關鍵在於是否存在 2 的因子。設 p 是乙個偶數，即有 p 2m,m q p 2 4m 2仍是偶數。設 q 是乙個奇數，即有 q 2m 1 m q q2 4m2 4m 1 若 p2 是偶數，則 p 一定是偶數 p是整數，也即 p2 至少存在 4 2 2 ...
根2是無理數的幾種證明方法
一 幾何證明法 對應於歐幾里德的輾轉相除法求最大公因子。此方法是找bd和bc的公度量，bc為單位長 有理數長度，可公度 如果能找到，則bd長是有理數 可公度 否則是無理數 不可公度 求公度量的方法是 不斷地用較長的那個線段減短的線段，直到兩者相等。如上圖所示 1 用bd bc de cf 2 bc ...