數學史上畢達哥拉斯學派對整數有著近乎瘋狂的迷信，認為世界上所有的東西都是整數或者有理數-兩個整數的比，據說發現了勾股定理。任何乙個直角三角形abc
ac--------b
b | /
| / c
a三個點對應的三個邊為a,b,c，則 a*a + b*b = c*c
據說後來畢達哥拉斯的門徒發現，如果等腰直角三角形，既a=b=1的時候，這個c大概為1~1.5之間長度，就發現這個邊長不能表示為有理數，是怎麼想到的呢? 肯定不是拿尺子量的，是靠思辨和證明的方法，方法是這樣的：
由a=b=1 及a*a+b*b=c*c
則 2 = c*c
先假設c = z / m, 就是先假設c是個有理數，分子為整數z, 分母為整數m, 且z和m互質，就是說他們是不能再化簡的，比如2/6還能化簡為1/3, 所以z和m不能同時為偶數
則 2 = (z*z) / (m*m)
推得2*(m*m) = (z*z)
所以(z*z) 為偶數，由於偶數的平方還是偶數，奇數的平方還是奇數,
（奇數可表示為2n+1, 則 (2n+1)*(2n+1) = 4n*n+4n+1, 仍然是個奇數)
所以z是偶數，z表示為2*n
則 2*(m*m) = (2*n*2*n)
推得m*m = 2*n*n
則m為偶數
得到推論z和m同時為偶數，這和假設z和m互質矛盾，所以：
兩個短邊為1的等腰直角三角形的最長邊不是個有理數分式，後來據說畢達哥拉斯學派把發現這個的門徒扔到海浬，然後發現了許多不是有理數的長度，這些數就被稱為無理數，據說這類數是"沒有理性的數"，根號是計算乙個數的開平方操作，c語言中的函式為sqrt(double), 現在我們知道了sqrt(2)是個無理數。
在希臘數學哲學歐洲數學歷史和傳統中，我們發現有別於中國的經驗性思維的是他們的思辨，演繹，推理性思維，也就是所謂的理性，這些思想既科學的思考方法導致了西方數學和科學技術上的巨大發展。
根號 2 是無理數的證明
首先宣告一些基本事實 所謂偶數還是奇數，分別的關鍵在於是否存在 2 的因子。設 p 是乙個偶數，即有 p 2m,m q p 2 4m 2仍是偶數。設 q 是乙個奇數，即有 q 2m 1 m q q2 4m2 4m 1 若 p2 是偶數，則 p 一定是偶數 p是整數，也即 p2 至少存在 4 2 2 ...
有理數集合是可數集合，無理數集合是不可數集合
以下介紹的是康托想出的有理數與自然數對應方式，表中的 p,q 表示 p q。1,1 1,2 1,3 1,4 1,n 2,1 2,2 2,3 2,4 2,n m,1 m,2 m,3 m,4 m,n 表中 p q 的值在同乙個由右下至左上同一列是相等的，由左上角 1,1 開始，p q 的值是 2，之後是...
根2是無理數的幾種證明方法
一 幾何證明法 對應於歐幾里德的輾轉相除法求最大公因子。此方法是找bd和bc的公度量，bc為單位長 有理數長度，可公度 如果能找到，則bd長是有理數 可公度 否則是無理數 不可公度 求公度量的方法是 不斷地用較長的那個線段減短的線段，直到兩者相等。如上圖所示 1 用bd bc de cf 2 bc ...