首先宣告一些基本事實：
所謂偶數還是奇數，分別的關鍵在於是否存在 2 的因子。設 p
是乙個偶數，即有： p=
2m,m
∈q⇒p
2=4m
2仍是偶數。 設 q
是乙個奇數，即有： q=
2m+1
,m∈q
⇒q2=
4m2+
4m+1
若 p2 是偶數，則
p 一定是偶數（
p是整數，也即 p2
至少存在 4（2×2）的因子）。
假設 2
√ 不是無理數，而是有理數，即： 2√
=pq
其中 p,q
沒有共因子（最簡），如此一來，p,
q 不會同時是偶數，不妨設
p 是奇數（
q可以為奇數，也可以為偶數、），於是： p=
2√q⇒
p2=2
q2p2
是偶數 ⇒
p 是偶數（
p首先必須為整數），設 p=
2r，這樣，上式變為： 4r
2=2q
2 q2
是偶數 ⇒ q 是偶數 ⇒ 與假設相矛盾。
題設：p,q
二者互質；
2√=p
q⇒p2
=2q2
所以 p
為偶數，不妨令其為 2k
⇒ q2=
2k2 ⇒
q 也是偶數，與假設矛盾。
根2是無理數的幾種證明方法
一 幾何證明法 對應於歐幾里德的輾轉相除法求最大公因子。此方法是找bd和bc的公度量，bc為單位長 有理數長度，可公度 如果能找到，則bd長是有理數 可公度 否則是無理數 不可公度 求公度量的方法是 不斷地用較長的那個線段減短的線段，直到兩者相等。如上圖所示 1 用bd bc de cf 2 bc ...
有理數 無理數 根號2 勾股定理
數學史上畢達哥拉斯學派對整數有著近乎瘋狂的迷信，認為世界上所有的東西都是整數或者有理數 兩個整數的比，據說發現了勾股定理。任何乙個直角三角形abc ac b b c a三個點對應的三個邊為a,b,c，則 a a b b c c 據說後來畢達哥拉斯的門徒發現，如果等腰直角三角形，既a b 1的時候，這...
網際網路找的e是無理數的初等證明
e的兩種計算方式 e lim 1 frac n e sum frac 即，e frac frac frac frac cdot cdot 所以2 3 即2 可知e不是整數，用反證法，假設e是有理數，即e frac,且q不是1，即q geqslant2,則 q cdot e q sum frac qu...