題目1：求 limx
→0si
n3x+
ex−1
x\lim_ \frac-1}
limx→0
xsi
n3x+
ex−1
答案：
lim x
→0si
n3x+
ex−1
x\quad \lim_ \frac-1}
limx→0
xsi
n3x+
ex−1
=limx
→03x
+x
x= \lim_ \frac
=limx→
0x3
x+x
= 4=4
=4題目2：求 lim
x→0e
x2−c
osxx
ln(1
+x
)lim_ \frac}-cosx}
limx→0
xln
(1+x
)ex2
−cos
x答案：limx
→0ex
2−co
sxxl
n(1+
x)
\quad \lim_ \frac}-cosx}
limx→0
xln
(1+x
)ex2
−cos
x=
limx→
0ex2
−cos
xx
2=\lim_ \frac}-cosx}}
=limx→
0x2
ex2−
cosx
=limx
→0(e
x2−1
)+(1
−cos
x)x2
=\lim_ \frac}-1)+(1-cosx)}}
=limx→
0x2
(ex2
−1)+
(1−c
osx)
=limx
→0x2
+12x
2x
2=\lim_ \frac+\fracx^}}
=limx→
0x2
x2+2
1x2=3
2=\frac
=23
題目3：求 limx
→0x−
sinx
x3
\lim_ \frac}
limx→0
x3x
−sin
x分析：這道題可否像題目1，題目2一樣，使用等價無窮項，把sinx替換為x，求得結果為0呢？答案是不行的！為什麼有時候可以用等價無窮小，有時候又不行呢？
當計算 0
0\frac
00 型極限時，想使用等價無窮小替換分子（分母）某一項，需要遵循以下規定：
如果分子（分母）為一些項乘積的形式，那麼可以隨便使用等價無窮小替換其中任意項。
如果分子（分母）為一些項求和的形式，那麼當你想替換的項，其無窮小的階數大於等於分母（分子）中最高的無窮小階數，就可以替換，否則不行。
題目1和題目2都遵循了上述規定，這道題由於分子為兩個1階無窮小，分母為3階無窮小，所以不能使用等價無窮小替換分子中的sinx。
這道題的正解是使用洛必達法則。
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