稠密圖
//稠密圖-鄰接矩陣
template
class densegraph
//析構函式
~densegraph()
//返回節點個數
intv()
//返回邊的個數
inte()
//向圖中新增乙個邊，權值為weight
void
addedge
(int v,
int w,weight weight)
g[v]
[w]= new edge
(v,w,weight);if
(v!=w &&
!directed)
g[w]
[v]= new edge
(w,v,weight)
; m++;}
//驗證圖中是否有從v到w的邊
bool hasedge
(int v,
int w)
//顯示圖的資訊
void
show()
cout<
//鄰邊迭代器，傳入乙個圖和乙個頂點
//迭代在這個圖中和這個頂點相連的所有邊
class adjiterator
~adjiterator()
//f返回圖g中與頂點v相連線的第乙個邊
edge
*begin()
//返回圖g中與頂點v相連線的下乙個邊
edge
*next()
//檢視是否已經迭代完了圖g中與頂點v相連線的所有邊
bool end()
};};
//稀疏圖
template
class sparsegraph
~sparsegraph()
//返回節點個數
intv()
//返回邊的個數
inte()
//向圖中新增乙個邊，權值為weight
void
addedge
(int v,
int w,weight weight)
//驗證圖中是否有從v到w的邊
bool hasedge
(int v,
int w)
void
show()
}//鄰邊迭代器，傳入乙個圖和乙個頂點
//迭代在這個圖中和這個頂點相連的所有邊
class adjiterator
//返回圖g中與頂點v相連線的第乙個邊
edge
*begin()
//返回圖g中與頂點v相連線的下乙個邊
edge
*next()
bool end()
};};
切分定理（cut property）
把圖中的結點分為兩部分，成為乙個切分（cut）
如果乙個邊的兩個端點，屬於切分（cut）不同的兩邊，這個邊稱為橫切邊
切分定理：給定任意切分，橫切邊中權值最小的邊必然屬於最小生成樹lazy prime:
在這裡選取權值最小的邊的時候要利用到最小堆（之前講過）
以下為prime演算法：
//使用prim演算法求圖的最小生成樹
template
class lazyprimmst
public:
//建構函式，使用prim求圖的最小生成樹
lazyprimmst
(graph &graph):g
(graph),pq
(minheap
>
(graph.e(
)))//計算最小生成樹的權值
mstweight = mst[0]
.wt()
;for
(int i=
1;isize()
;i++
) mstweight+
=mst[i].wt
();}
//析構函式
~lazyprimmst()
//返回最小生成樹的所有邊
vector
>
mstedges()
//返回最小生成樹的權值
weight result()
};#endif
// lazyprimmst_h_included
// 測試有權圖和有權圖的讀取
intmain()
進行優化使之時間複雜度為o（elo**）
維護乙個indexminheap資料結構
最小索引堆中的元素個數和圖中的頂點個數一致，在堆操作這裡提高了效率，遍歷邊的次數也變小了。
//使用優化的prim演算法求圖的最小生成樹
template
class primmst
//如果考慮過這個端點，但現在的邊比之前考慮的邊更短，則進行替換
else
if(e->wt(
)->wt(
))}}
}public:
//建構函式，使用prim演算法求圖的最小生成樹
primmst
(graph &graph):g
(graph)
,ipq
(indexminheap<
double
>
(graph.v(
))) mst.
clear()
;//prim
visit(0
);while
(!ipq.
isempty()
) mstweight = mst[0]
.wt()
;for
(int i=
1;isize()
;i++
) mstweight+
=mst[i].wt
();}
~primmst()
vector
>
mstedges()
weight result()
};#endif
// primmst_h_included
為什麼呢？因為根據這條最短邊，我們總能找到乙個切分，使得該邊為這個切分下的橫切邊的最短邊。
如果判斷加入邊後有沒有環的存在呢？使用並查集
//kruskal演算法
template
class kruskalmst
//建立乙個並查集，來檢視已經訪問的節點的聯通情況
unionfind uf =
unionfind
(graph.v(
));while
(!pq.
isempty()
&& mst.
size()
< graph.v(
)-1)
mstweight = mst[0]
.wt()
;for
(int i=
1;isize()
;i++
) mstweight+
=mst[i].wt
();}
~kruskalmst()
//返回最小生成樹的所有邊
vector
>
mstedges()
//返回最小生成樹的權值
weight result()
};#endif
// kruskalmst_h_included
延伸問題：對於乙個圖有多少個最小生成樹？？
vessotsky『s algorithm
將邊逐漸的新增到生成樹中，一旦形成環，刪除環中權值最大的邊（難度比較大）。
最小生成樹演算法
由帶權的連通圖生成的數的各邊加起來稱為生成樹的權，把權值最小的生成樹稱為最小生成樹 minimum spanning tree 簡稱為mst 構造最小生成樹的方法就是利用mst性質，一條一條地選擇可以加入的邊。下面介紹兩種用於構造最小生成樹的演算法，其中第一種演算法稱為prim演算法，第二種演算法稱...
最小生成樹演算法
乙個最簡單的最小生成樹 圖結構練習 最小生成樹 time limit 1000ms memory limit 65536k 有n個城市，其中有些城市之間可以修建公路，修建不同的公路費用是不同的。現在我們想知道，最少花多少錢修公路可以將所有的城市連在一起，使在任意一城市出發，可以到達其他任意的城市。輸...
演算法 最小生成樹
前言 最小生成樹是在乙個給定的無向圖中求一棵樹，這棵樹包含無向圖中的所有頂點，且樹中的邊都來自無向圖中的邊，並且要滿足整棵樹的邊權之和最小。1 最小生成樹是樹，其邊數等於頂點數減1，且不會有環 2 對於給定的圖最小生成樹可以不唯一，但是邊權之和一定是唯一的。3 其根節點可以是這棵樹上的任何乙個節點，...