動態規劃矩陣鏈（1）

最近看研三的找工作，主要變成題目都是過程實現，模擬一下，稍微帶點技巧，演算法層面也就是動態規劃了，想想自己也一直忙於實驗室各種事情，也該回來看看演算法了，現在遷移一些以前寫過的內容，順便做複習。

矩陣鏈乘法也就為連續相乘的矩陣加括號，以最少的計算次數完成計算。即現有多個連續矩陣相乘a1a2a3...an，對於這樣的n個矩陣相連，採取暴力法，按照排列組合在矩陣之間插入分隔符，可以選擇的種類即有

動態規劃嘛，個人理解也就是無限貪心，打一張表，在改變一點結構後，總能找到上乙個最優結構，即最優解是可以遞迴定義的，這裡摘錄一下演算法導論上的原話：

如何制定動態規劃方案：

1. 刻畫乙個最優解的結構特徵

2. 遞迴的定義最優解的值

3. 計算最優解的值，通常採用自底向上方法

4. 利用計算出的資訊構造出乙個最優解

其中m[i][j]表示ai和aj中間的最小計算次數，也就等於ai和ak之間的最小計算次數加上，ak+1和aj之間的最小計算次數，a[i].row*a[k].col*a[j].col也就是最後生成的左邊矩陣a[i].row行(m1)乘a[k].row列(n1)，右邊矩陣a[k+1].row行(m2)乘a[j].col列(n2)的矩陣，左矩陣某一行乘右矩陣某一列是乙個數字的計算次數，總共即有m1*n1*n2次乘法運算。

已經寫出了遞迴式，我們開始計算最優解的值，採取自底向上方法，首先根據遞迴式，將m[i][i]全部填0。接下來設計自底向上填的方法。由遞迴式可以看出，我們要填寫m[i][j]就需要知道m[i][k], m[k+1][j]舉個例子m[2][4] 需要知道m[2][2],m[2][3], m[3][4], [m[4][4]。再舉乙個例子m[1][3],需要知道m[1][1], m[1][2], m[2][3], m[3][3]。

以五個元素為例，先畫出填0的部分

m[1][1]　m[2][2]　m[3][3]　m[4][4]　m[5][5]

根據上圖，現在考慮m[1][2],m[1][2]需要知道m[1][1],m[2][2]， 那麼m[2][3]需要知道m[2][2],m[3][3]。由此，m[3][4]需要知道m[3][3],m[4][4]，補充上圖

m[1][2]　m[2][3]　m[3][4]　m[4][5]

m[1][1]　m[2][2]　m[3][3]　m[4][4]　m[5][5]

現在看這張圖就感覺好一些了，那麼跟著數字往上，現在考慮m[1][3],m[2][4],m[3][5]，根據已經舉過的資料，來繼續畫圖

m[1][3]　m[2][4]　m[3][5]

m[1][2]　m[2][3]　m[3][4]　m[4][5]

m[1][1]　m[2][2]　m[3][3]　m[4][4]　m[5][5]

可以看出來需要知道的資料是乙個小三角形，很好推測，接下來的資料會是什麼，那麼畫完這個大三角形吧

m[1][5]

m[1][4] m[2][5]

m[1][3] m[2][4] m[3][5]

m[1][2] m[2][3] m[3][4] m[4][5]

m[1][1] m[2][2] m[3][3] m[4][4] m[5][5]

根據遞迴式也能夠看出這個結果。最優解就是m[1][5]的取值。

接下來考慮程式怎麼編寫，從最下面開始，填完了m[same][same]。

開始第二層,容易看出這一層m[i][j]之間j – i = 1,實際每一層都是有相同的數字差。這個數字差值在意義上也就是長度

那麼我們設定乙個變數就叫len，它的變化應該放在最外層迴圈中，迴圈n次（n表示矩陣數目）接下來迴圈變化的就是變數i了,i每次從1開始一直到n-len之後是j, j總是= i + len;

現在，遍歷的迴圈任務就結束了,開始考慮如何計算，也就是怎麼樣做這個三角形。設定變數k，觀察三角形，根據遞迴式，k的值就是從i-j,那麼就這樣設定了。根據遞迴式，可以輕鬆寫下k這個最內層迴圈的內容，如此，這個程式核心部分就結束了，最後，貼上**。

#define num 10

int m[num][num];
int s[num][num];
struct matrix;
void print(int i, int j)
}void matrix_chain_order(struct matrixa[num], int index_max)}}
print(0, index_max);
printf("\n");
}int main()

動態規劃 矩陣鏈乘法

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