矩陣鏈連乘問題：由於不同的矩陣相乘順序會導致不同的矩陣標量元素相乘的運算元，求設矩陣佇列a1a2a3...an-1an的最小相乘運算元。
好吧，先讓我們回顧一下線性代數中矩陣乘法的相關知識(其實看到這個題目時我已經忘了兩個矩陣是怎麼相乘的了，剛好回顧一下)，兩個矩陣只有相容才能相乘。即a x b要求a的列數等於b的行數。如[n * m]和[m * p]的兩個矩陣是可以相乘的，且它們相乘的標量運算數為n * m * p。那麼不同的相乘順序又為什麼會有不同的運算元呢？可以這樣舉例證明：現有三個矩陣a1,a2,a3對應的規模分別是,,。
a.若採用(a1(a2a3))的相乘順序，先進行a2a3相乘，相乘次數為100 x 20 x 50 = 100000，得到乙個的矩陣;再將結果和a1相乘,又需要 5 x100 x 50 = 25000;總共需要乘運算元為:25000+100000 = 125000
b.若採用((a1a2)a3)的相乘順序，先進行a1a2相乘，相乘次數為5 x 100 x 20 = 10000,得到乙個的矩陣，再將結果和a3相乘，有需要5 x 20 x 50 = 5000；總共需要乘運算元為:10000+5000 = 15000
由此可見不同的相乘順序需要不同的相乘次數。也可以這麼理解，矩陣和矩陣 會得到乙個的矩陣，由此可見相乘後的矩陣規模有p決定。
狀態轉移方程如下(其中m[i][j]表示從ai到aj的最優解)
**如下:
package com.wly.algorithmbase.dailyproblem;
/** * 動態規劃解最小矩陣連乘運算元問題
* @author wly
* */
public class minmatrixchainoperation 對應矩陣a1,a2,a3
// int testmatrice = ;
int testmatrice = ;
system.out.println(slove(testmatrice)); }
/*** 求解問題，由於使用陣列做結果容器，所以當要表示子鏈aiai+1...aj在陣列中的實際表現為result[i-1][j-1]
* 下面的**的變數都盡量用其對應的功能命名，但是**會顯得很繞，不過這樣便於理解。在這之後又寫了乙個簡化了變數的方法，以便於閱讀
* 每個矩陣鏈a1a2a3...an-1an都可以分割成a1a2a3...ak和ak+1ak+2...an兩個子舉證連,即
* f(a1a2a3...an-1an) = f(a1a2a3...ak) + f(ak+1ak+2..an) + a1akan
* @param 矩陣鏈的行，列數陣列
* @return 最小乘運算元
*/public static int slove(int p) }}
}printseparate(separate,0,separate[0].length-1);
return result[1-1][matrixnum-1]; }
/*** 上面方法的簡化版，主要簡化了變數名
* 之所以這樣是因為陣列索引是基於0的，而狀態轉移中的r[i][j]表示從i到j的子鏈的最優解，實際在陣列中進行-1糾偏動作
* @param p
* @return
*/public static int slovesimplify(int p) }}
}printseparate(s,0,s[0].length-1);
return r[1-1][n-1]; }
/*** 列印最優解分割方式
* @param separate
* @param start
* @param end
*/private static void printseparate(int separate,int start,int end) else
}}
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(a1(a2a3))中，先計算a2a3 = 3*4*2 = 24.得到3*2的矩陣,再和a1乘，又要5*3*2=30，總共30+24=54，另外一種可能((a1a2)a3)中，先計算a1aa2=5*3*4=60,得到5*4的矩陣，再和a3，又要5*4*2=40，總共60+40=100。所以驗證通過
最後總結一下本人對動態規劃思想的理解：
1、動態規劃並不能使需要遍歷的可能解變得更少(這個我剛開始看的時候還以為可以呢)，只是在求解過程中，人為的安排子問題的求解順序，使規模較小的子問題首先被求解，並將其解儲存起來，那麼在求解更高層次的子問題時，就可以直接利用儲存起來的子問題的解了，而不需要再次重新求解其子問題的解了。這是一種以空間代價換取時間的做法，當然這些話，每本演算法書上都有，不過要做到真的體會理解，還是需要自己動手寫**的。
2、關於最優子問題結構的論證，可以採用反證法，如：矩陣鏈a1a2a3a4...an的最優解的是a1a2a3...ak和ak+1ak+2...an，則如果存在另外一種更有的分割點m使得a1a2a3...am和am+1am+2an這種分割方式的解更優，則k分割點就不是當前問題的最優解了，矛盾。
3、關於重疊子問題特性，指的是同乙個子問題，只是作為不同的問題的子問題出現而已。與分治法不同的是，動態規範中不同規模的子問題可能共有了某個子子問題的解。
至此動態規劃的學習暫時告以段落，以後會做些習題鞏固理解。
o啦~~~
謝謝!!
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