問題描述
我們稱序列
z = < z1, z2, ..., zk >是序列
x = < x1, x2, ..., xm >的子串行當且僅當存在嚴格上
公升的序列< i1, i2, ..., ik >，使得對
j = 1, 2, ... ,k, 有
xij = zj。比如
z = < a, b, f, c >是
x = < a, b,
c, f, b, c >的子串行。
現在給出兩個序列
x和y，你的任務是找到
x和y的最大公共子串行，也就是說要找
到乙個最長的序列
z，使得
z既是x的子串行也是
y的子串行。
輸入資料
輸入包括多組測試資料。每組資料報括一行，給出兩個長度不超過
200的字串，表示
兩個序列。兩個字串之間由若干個空格隔開。
輸出要求
對每組輸入資料，輸出一行，給出兩個序列的最大公共子串行的長度。
輸入樣例
abcfbc abfcab
programming contest
abcd mnp
輸出樣例42
0解題思路
如果我們用字元陣列
s1、s2存放兩個字串，用
s1[i]表示
s1中的第
i個字元，
s2[j]表
示s2中的第
j個字元（字元編號從
1開始，不存在「第
0個字元」），用
s1i表示
s1的前
i個字元所構成的子串， s2j表示
s2的前
j個字元構成的子串，
maxlen(i, j)表示
s1i和
s2j的
最長公共子串行的長度，那麼遞推關係如下：
if( i ==0 || j == 0 )
else if( s1[i] == s2[j] )
maxlen(i, j) = maxlen(i-1, j-1 ) + 1;
else
maxlen(i, j) = max( maxlen(i, j-1), maxlen(i-1, j)) 這個遞推關係需要證明一下。我們用
反證法來證明，maxlen(i, j)不可能比
maxlen(i, j-1)和
maxlen(i-1, j)都大。先假設
maxlen(i,
j)比maxlen(i-1, j)大。如果是這樣的話，那麼一定是
s1[i]起作用了，即
s1[i]是
s1i和
s2j的
最長公共子串行裡的最後乙個字元。同樣，如果
maxlen(i, j)比
maxlen(i, j-1)大，也能夠推
匯出，s2[j]是
s1i和
s2j的最長公共子串行裡的最後乙個字元。即，如果
maxlen(i, j)比
maxlen(i, j-1)和
maxlen(i-1, j)都大，那麼，
s1[i]應該和
s2[j]相等。但這是和應用本遞推關係
的前提----- s1[i]≠s2[j]相矛盾的。因此，
maxlen(i, j)不可能比
maxlen(i, j-1)和
maxlen(i-1, j)
都大。maxlen(i, j)當然不會比
maxlen(i, j-1)和
maxlen(i-1, j)中的任何乙個小，因此，
maxlen(i, j) = max( maxlen(i, j-1), maxlen(i-1, j)) 必然成立。
顯然本題目的「狀態」就是
s1中的位置
i和s2中的位置
j。「值」就是
maxlen(i, j)。狀
態的數目是
s1長度和
s2長度的乘積。可以用乙個二維陣列來儲存各個狀態下的「值」。本
問題的兩個子問題，和原問題形式完全一致的，只不過規模小了一點。
1. #include 2. #include 3. #define max_len 1000 4. char sz1[max_len]; 5. char sz2[max_len]; 6. int amaxlen[max_len][max_len]; 7. main() 8. 31. } 32. } 33. printf("%d\n", amaxlen[nlength1][nlength2]); 34. } 35. }
常見問題
求解最長公共子串行時，當比較到兩個字串的兩個字母不同時，應該分別將兩個字
符串向後移動乙個字元，比較這兩種情況中哪個得到的公共子串行最長。有些同學只將其中
的乙個字串向後移動，或者兩個同時移動，都是不對的。
動態規劃 最長公共子串行
問題描述 我們稱序列z z1,z2,zk 是序列x x1,x2,xm 的子串行當且僅當存在嚴格上公升的序列 i1,i2,ik 使得對j 1,2,k,有xij zj。比如z a,b,f,c 是x a,b,c,f,b,c 的子串行。現在給出兩個序列x和y，你的任務是找到x和y的最大公共子串行，也就是說要...
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看完演算法導論關於這部分內容之後的總結 關於最長公共子串行問題 給定兩個子串行 x y 求x和y長度最長的公共子串行。解決方法 首先先要了解lcs的最優子結構，令x y 為兩個子串行，z 為x和y的任意lcs。1 如果 xm yn 則 zk xm yn 且 zk 1 是 xm 1 和 yn 1 的乙...