1.基礎知識儲備篇
n階方陣（n階矩陣）：行數m與列數n相同的矩陣，如下圖所示就是乙個4x4的方陣：*
行矩陣（行向量）：只有一行的矩陣，下圖就是乙個行矩陣：
列矩陣（列向量）：只有一列的矩陣，下圖就是乙個列矩陣：
同型矩陣：設先有矩陣a和矩陣b，矩陣a的行數與列數和矩陣b的相同，則矩陣a、b是同型矩陣。
單位矩陣：在矩陣的乘法中，有一種矩陣起著特殊的作用，如同數的乘法中的1,這種矩陣被稱為單位矩陣．它是個方陣，從左上角到右下角的對角線（稱為主對角線）上的元素均為1。除此以外全都為0。如下圖所示是乙個3階的單位矩陣。
矩陣加法：
矩陣乘法
2.矩陣快速冪引入篇
整數快速冪：
為了引出矩陣的快速冪，以及說明快速冪演算法的好處，我們可以先求整數的冪。
如果現在要算x^8：則 ******xx 按照尋常思路，乙個乙個往上面乘，則乘法運算進行7次。
(xx)(xx)(xx)(xx)
這種求法，先進行乘法得x^2,然後對x^2再執行三次乘法，這樣去計算，則乘法運算執行4次。已經比七次要少。所以為了快速算的整數冪，就會考慮這種結合的思想。
現在要考慮應該怎麼分讓計算比較快。接下來計算整數快速冪。例如：x^19次方。
19的二進位制為：1 0 0 1 1 。
由(x^m)(x^n) = x^(m+n)
則x^19 = (x^16)(x^2)*(x^1)
那麼怎麼來求解快速冪呢。請看下列**：
求解x^n的值。
///整數快速冪，計算x^n
int quickpow(int x,int n)
res = res*res;
n = n>>1;
}return ans;
}
對於x^19來說：
19的二進位制為：1 0 0 1 1
初始：
ans = 1; res = x;ans = res*ans = x;
res = res*res = x^2;
則1001最後一位是1，所以是奇數
ans = res*ans = x*(x^2) = x^3
res = res*res = x^2*x^2 = x^4
則最後一位是0，所以當前的數為偶數。
res = res*res = x^4*x^4 = x^8最後一位是0，當前數是偶數。
res = res*res =x^8*x^8= x^16最後一位是1，當前數是奇數
ans = ans*res = (x^3)*（x^16） = x^19
res = res*res = x^32
2.矩陣快速冪演算法篇
看了乙個整數數的快速冪，現在我們就正式介紹矩陣快速冪演算法。假如現在有乙個n*n的方陣a。所謂方陣就是行數和列數相等的矩陣，先給出乙個數m，讓算矩陣a的m次冪，a^m.在此只要求計算並不需要去深究這個矩陣到底是什麼含義。則上面**可以化為。
上面只是簡單的計算矩陣的冪，大家會感覺很抽象，因為上述矩陣並沒有具體的含義，
現在就舉例說明矩陣快速冪在實際運用中的意義：
以最常見的斐波那契數列為例：眾所周知：斐波那契數列遞推公式為：
f[n] = f[n-1] + f[n-2]. 由f[0]=0,f[1]=1,可以遞推後面的所有數。
在以前，我們會常常用for迴圈，這是最直接的演算法。
poj 3070 題目，讓求斐波那契數列，其n更是高達10億。
直接遞推的侷限性：
（1）本題讓你遞推的斐波那契數n高達10億。測試時間僅1秒的時間，for迴圈用遞推公式遞迴導致超時。
（2）想要打表實現隨機訪問根本不可能，先把斐波那契數列求到10億，然後想去進行隨機訪問。題目未給出那麼多記憶體，陣列也開不到10億。
因此它可以用矩陣快速冪來寫。
觀察f[n] = f[n-1]+f[n-2] 第n相是由第n-1項和第n-2項遞推而來。
同理，第n+1項由第n項和第n-1項遞推而來。
因此可以用矩陣表示：
則，知道f[n-1]、f[n-2]則乘上左方矩陣，就能得到等號左側矩陣，第乙個位置
即為要求的f[n]。
python實現**：
小白回顧 矩陣快速冪講解
part i 首先理解一般的快速冪 為快速求a b，我們可以採用折半的思想 1 當b為偶數時，a b a b 2 a b 2 2 當b為奇數時，a b a a b 2 a b 2 int quick mi int a,int b a a a 偶數折半 b b 1 位運算折半，其實還可以寫為b b 2...
矩陣快速冪 模板與簡單講解
模板 快速冪模板 1 void solve matrix t,long longo 2 1617 o 1 18 19 t mul t,t 20 2122 long long res 0 23 24for int i 0 i d i 25 res res e.a 0 i f d i 1 m 2627 ...
快速冪（矩陣快速冪）
求 3 0 3 1 3 n mod 1000000007 input 輸入乙個數n 0 n 10 9 output 輸出 計算結果 sample input 3sample output 40 分析 利用等比數列的求和公式得所求和是 3 n 1 1 2，如果暴力求3 n 1 會超時，這裡引入快速冪來...