快速冪矩陣快速冪

如果要你自己寫乙個pow()函式，需要求2的2000000000次方，怎麼求？

int
pow(
int a,
int b)

上述**的時間複雜度是o(n)，當資料數量級很大的時候，這份**的耗時會非常巨大，並不能解決我們的問題。那我們該怎麼辦呢？

以2的74次方為例，74的二進位制為1001010。對應的，我們得到74=2+8+64。

我們把問題轉化為2的74次方 =2的2次方 * 2的8次方 * 2的64次方。通過這個思路，這樣我們把演算法的複雜度降到了o(log n)。

void
pow(
long
long  a,
long
long  b)
//快速冪 求a的b次冪
printf
("%lld"
,s);
}

我們都知道斐波那契數列，而 f[n] =f[n-1]+f[n-2]。

顯然，採用遞加的方式求f[n]我們需要運算 n-1次。當資料數量級很大的時候，在有限的時間內，我們是無法答案的。那麼我們該怎麼辦呢？

思路一：先來看斐波那契數列，我們先初始化三個矩陣令a[2][2]=,b[2]=，c[2][1]=。那麼是不是會有 c[0][0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]=1+1=2。

c[1][0]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]b[1][0]=1+0=1。

即：

乘號右側的所有元素組成斐波那契數列的元素，我們可以用c[0][0]表示。那麼我們這樣做有什麼好處呢？理由同快速冪，因為這樣f[n]=a矩陣的n-1次方b矩陣。這樣一來，我們只不過是把底數換成了乙個矩陣而已，利用上述的思路可以將時間複雜度大大降低。我們把矩陣a稱為轉移矩陣，用陣列表示是[1,1,1,0]。最後的答案我們可以通過a的n-1次方獲得。

#include
#include
#include
int n,c[2]
[2],d[2]
[2],a[2]
[2]=
,b[2][
2]=;
void
matrix1()
}}for(
int i=
0;i<
2;i++)}
}void
matrix2()
}}for(
int i=
0;i<
2;i++)}
}int
main()
printf
("%d "
,b[0][
0]+b[0][
1]);
}return0;
}

思路二：矩陣快速冪與斐波那契數列

#include
#include
#include
int n,c[2]
[2],d[2]
[2],a[2]
[2]=
,b[2][
2]=;
void
matrix1()
}}for(
int i=
0;i<
2;i++)}
}void
matrix2()
}}for(
int i=
0;i<
2;i++)}
}int
main()
printf
("%d "
,b[0][
1]);
return0;
}

如有不妥，歡迎指正。

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