數字DP 入門學習詳解

數字dp是dp的一種，顧名思義，按每乙個數字來進行dp。

題目的要求與乙個數字相關，並且它能通過每乙個數字來進行轉移。

例題：求所有n

nn位數中能被m

mm整除的數的個數。

一般的dp是多維的，首先會有一維表示的是當前到了第幾位，通常情況這一維可以使用滾動。

其它的就是根據題目的實際要求了，如例題就需要一維來記錄除以m

mm的餘數。

以例題為例，我們來講講數字dp怎麼實現。

我們設f[i

][j]

f[i][j]

f[i][j

]表示當前到了第i

ii位，除以m

mm的餘數為j

jj的方案數。

一般是從高位往低位dp，因為最高位不能為0

00，所以我們對i=1

i=1i=

1的情況先處理好：

f [1

][im

odm]

=1(1

≤i≤9

)f[1][i\mod m]=1(1≤i≤9)

f[1][i

modm

]=1(

1≤i≤

9)接著我們用第i

ii位的狀態去更新第i+1

i+1i+

1位的狀態，每次列舉當前在第i+1

i+1i+

1位加入kkk。

想想怎麼轉移？

對於當前的餘數j

jj，在末尾加入了k

kk，餘數變成什麼？

根據同餘的性質，我們自然可以得到：餘數變成了(j∗

10+k)

modm

(j*10+k)\mod m

(j∗10+

k)mo

dm。所以，狀態轉移方程如下：

f [i

+1][

(j∗10

+k)m

odm]

+=f[

i][j

](1≤

i

0≤

j

0≤k≤

9)

f[i+1][(j*10+k)\mod m]+=f[i][j](1≤if[

i+1]

[(j∗

10+k

)mod

m]+=

f[i]

[j](

1≤i0≤

j0≤k≤

9)最後的答案是什麼？

首先，第一維自然是n

nn，那麼第二維取什麼值呢？

顯而易見，要求是m

mm的倍數，所以第二維是000。

綜上所述，最後的答案是f[n

][0]

f[n][0]

f[n][0

]。【數字dp】jzoj 5831. 【noip提高a組模擬2018.8.18】 number

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