數字dp入門

首先我們要清楚數字dp解決的是什麼問題：

求出在給定區間 [a,b] 內，符合條件 f(i) 的數 i 的個數。條件 f(i) 一般與數的大小無關，而與數的組成有關

由於數是按位dp，數的大小對複雜度的影響很小

這裡我們使用記憶化搜尋實現數字dp。本質上記搜其實就是dp，下文會重點介紹dp值的使用和記錄

從起點向下搜尋，到最底層得到方案數，一層一層向上返回答案並累加，最後從搜尋起點得到最終答案。

對於 [l,r] 區間問題，我們一般把他轉化為兩次數字dp,即找 [0,r] 和 [0,l-1] 兩段，再將結果相減就得到了我們需要的 [l,r]

如果理解了上述過程，我們需要考慮的就是怎樣判斷現在在哪一層，怎樣判斷當前的狀態——這就需要我們傳進一些參量。

dfs函式需要哪些參量?

首先是數字dp基本的量數字位數 pos ，記錄答案的 st ，最高位限制 limit （這個後面會講）

我們還需要乙個判斷判斷前導0的標記 lead （這個後面也會講）

由於數字dp解決的大多是數字組成問題，所以經常要比較當前位和前一位或前幾位的關係（根據題意而定），所以一般在dfs()中也要記錄前一位或前幾位數 pre 方便比較。

除此之外還可以傳進更多參量以區分狀態，視題意而定。

數字dp的狀態能記錄的最好都記錄上 ——lwz dalao

由於我們要搜的數可能很長，所以我們的直接最高位搜起

舉個例子：假如我們要從 [0,1000] 找任意相鄰兩數相等的數

顯然 111,222,888 等等是符合題意的數

但是我們發現右端點 1000 是四位數

因此我們搜尋的起點是 0000 ，而三位數的記錄都是 0111,0222,0888 等等

而這種情況下如果我們直接找相鄰位相等則 0000 符合題意而 0111,0222,0888 都不符合題意了

所以我們要加乙個前導0標記

如果當前位 lead=1 而且當前位也是0，那麼當前位也是前導0， pos+1 繼續搜；

如果當前位 lead=1 但當前位不是0，則本位作為當前數的最高位， pos+1 繼續搜；（注意這次根據題意st或其他引數可能發生變化）

當然前導 0 有時候是不需要判斷的，上述的例子是乙個有關數字結構上的性質，0會影響數字的結構，所以必須判斷前導0；而如果我們研究的是數字的組成（例如這個數字有多少個 1 之類的問題），0並不影響我們的判斷，這樣就不需要前導0標記了。總之，這個因題而異，並不是必須要標記（當然記了肯定是不會出錯的）

我們知道在搜尋的數字搜尋範圍可能發生變化；

當最高位是 1 ~ 4 時，第二位取值為 [0,9] ;

當最高位是 5 時，第二位取值為 [0,5] （再往上取就超出右端點範圍了）

為了分清這兩種情況，我們引入了limit標記：

若當前位 limit=1 而且已經取到了能取到的最高位時，下一位 limit=1 ；

若當前位 limit=1 但是沒有取到能取到的最高位時，下一位 limit=0 ；

若當前位 limit=0 時，下一位 limit=0 。

我們設這一位的標記為 limit ，這一位能取到的最大值為 res ，則下一位的標記就是 i==res && limit （ i 列舉這一位填的數）

最後我們考慮dp陣列下標記錄的值

本文介紹數字dp是在記憶化搜尋的框架下進行的，每當找到一種情況我們就可以這種情況記錄下來，等到搜到後面遇到相同的情況時直接使用當前記錄的值。

dp陣列的下標表示的是一種狀態，只要當前的狀態和之前搜過的某個狀態完全一樣，我們就可以直接返回原來已經記錄下來的dp值。

再舉個例子

假如我們找 [0,123456] 中符合某些條件的數

假如當我們搜到 1000?? 時，dfs從下返上來的數值就是當前位是第 5 位，前一位是 0 時的方案種數，搜完這位會向上反，這是我們可以記錄一下：當前位第 5 位，前一位是 0 時，有這麼多種方案種數

當我們繼續搜到 1010?? 時，我們發現當前狀態又是搜到了第 5 位，並且上一位也是 0 ，這與我們之前記錄的情況相同，這樣我們就可以不繼續向下搜，直接把上次的dp值返回就行了。

注意，我們返回的dp值必須和當前處於完全一樣的狀態，這就是為什麼dp陣列下標要記錄 pos,pre 等參量了。

最重要的來了————————————————————

接著上面的例子，範圍 [0,123456]

如果我們搜到了 1234?? ，我們能不能直接返回之前記錄的：當前第 5 位，前一位是 4 時的dp值？

答案是否定的

我們發現，這個狀態的dp值被記錄時，當前位也就是第 5 位的取值是 [0,9] ，而這次當前位的取值是 [0,5] ，方案數一定比之前記錄的dp值要小。

當前位的取值範圍為什麼會和原來不一樣呢？

如果你聯想到了之前所講的知識，你會發現：現在的 limit=1 ，最高位有取值的限制。

因此我們可以得到乙個結論：當 limit=1 時，不能記錄和取用dp值！

類似上述的分析過程，我們也可以得出：當 lead=1 時，也不能記錄和取用dp值！

p.s.當然沒有這麼絕對的說……因題而異的說……

以上就是計畫搜尋的完整步驟。

附圖：

模板：

1 ll dfs(int pos,int pre,int st,……,int lead,int limit)//記搜2
15if(!limit&&!lead) dp[pos][pre][st]……[……]=ret;//
當前狀態方案數記錄
16return
ret;17}
18 ll part(ll x)//
把數按位拆分
1925
intmain()
2634
return0;
35 }

例題：【題意簡述】

定義乙個正整數的價值是把這個數的十進位制寫出來之後，最長的等差子串的長度。

【分析】

這道題很顯然是一道數字dp，那麼我們應該怎麼樣設計狀態和轉移呢？

數字位置，前一位數，等差數列共差是一定要記錄的

我們還要把當前最大價值和整個數最大值也作為狀態

dp過程見**注釋（數字dp主要還是套板子呀）

#includeusing
namespace
std;
typedef 
long
long
ll;int t,n,m,len,a[20
];ll l,r,dp[
20][15][25][25][20
];ll dfs(
int pos,int pre,ll st,ll sum,int d,int lead,int
limit)
//pos搜到的位置
//pre前一位數
//st當前公差最大差值
//sum整個數字的最大價值
//d共差
//lead判斷是否有前導0
//limit判斷是否有最高位限制
//沒有前導0和最高限制時可以直接記錄當前dp值以便下次搜到同樣的情況可以直接使用。 
return (!limit&&!lead)?dp[pos][pre][st][sum][d+10]=ret:ret;
}ll part(ll x)
intmain()
return0;
}

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