數字DP入門數字DP模板

數字dp是一種計數用的dp，一般就是要統計乙個區間[le,ri]內滿足一些條件數的個數。所謂數字dp，字面意思就是在數字上進行dp咯。數字還算是比較好聽的名字，數字的含義：乙個數有個位、十位、百位、千位......數的每一位就是數字啦！

之所以要引入數字的概念完全就是為了dp。數字dp的實質就是換一種暴力列舉的方式，使得新的列舉方式滿足dp的性質，然後記憶化就可以了。

兩種不同的列舉：對於乙個求區間[le,ri]滿足條件數的個數，最簡單的暴力如下：

[cpp]view plain

copy

for(inti=le;i<=ri;i++)

if(right(i)) ans++;

然而這樣列舉不方便記憶化，或者說根本無狀態可言。

新的列舉：控制上界列舉，從最高位開始往下列舉，例如：ri=213，那麼我們從百位開始列舉：百位可能的情況有0,1,2(覺得這裡列舉0有問題的繼續看)

然後每一位列舉都不能讓列舉的這個數超過上界213（下界就是0或者1，這個次要），當百位列舉了1，那麼十位列舉就是從0到9，因為百位1已經比上界2小了，後面數字列舉什麼都不可能超過上界。所以問題就在於：當高位列舉剛好達到上界是，那麼緊接著的一位列舉就有上界限制了。具體的這裡如果百位列舉了2，那麼十位的列舉情況就是0到1，如果前兩位列舉了21，最後一位之是0到3(這一點正好對於**模板裡的乙個變數limit 專門用來判斷列舉範圍)。最後乙個問題：最高位列舉0：百位列舉0，相當於此時我列舉的這個數最多是兩位數，如果十位繼續列舉0，那麼我列舉的就是以為數咯，因為我們要列舉的是小於等於ri的所以數，當然不能少了位數比ri小的咯！(這樣列舉是為了無遺漏的列舉，不過可能會帶來乙個問題，就是前導零的問題，模板裡用lead變數表示，不過這個不是每個題目都是會有影響的，可能前導零不會影響我們計數，具體要看題目)

由於這種新的列舉只控制了上界所以我們的main函式總是這樣：

[cpp]view plain

copy

intmain()

w_w 是吧！統計[1,ri]數量和[1,le-1]，然後相減就是區間[le,ri]的數量了，這裡我寫的下界是1，其實0也行，反正相減後就沒了，注意題目中le的範圍都是大於等於1的(不然le=0,再減一就g_g了)

在講例題之前先講個基本的動態模板(先看後面的例題也行)：dp思想，列舉到當前位置pos，狀態為state(這個就是根據題目來的，可能很多，畢竟dp千變萬化)的數量(既然是計數,dp值顯然是儲存滿足條件數的個數)

[cpp]view plain

copy

typedeflonglongll;

inta[20];

ll dp[20][state];//不同題目狀態不同

ll dfs(intpos,/*state變數*/,boollead/*前導零*/,boollimit/*數字上界變數*/)//不是每個題都要判斷前導零

//計算完，記錄狀態

if(!limit && !lead) dp[pos][state]=ans;

/*這裡對應上面的記憶化，在一定條件下時記錄，保證一致性，當然如果約束條件不需要考慮lead，這裡就是lead就完全不用考慮了*/

returnans;

} ll solve(ll x)

returndfs(pos-1/*從最高位開始列舉*/,/*一系列狀態 */,true,true);//剛開始最高位都是有限制並且有前導零的，顯然比最高位還要高的一位視為0嘛

}intmain()

} 例題

【hdu2089】不要六二

中文題面，題意很好理解，這裡不再贅述

這是數字dp的入門題，可以好好理解數字dp的原理和基本框架，上面這個模板很詳細，可以解決一般的數字dp問題，這題很簡單，直接上**了：

#include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std;
typedef long long ll;
int a[20];
ll dp[20][2];
ll dfs(int pos, int pre, int state, bool limit)//不是每個題都要判斷前導零
if(!limit) dp[pos][state]=ans;
return ans;
}ll solve(ll x)
return dfs(pos - 1, 0, 0, true);
}int main()
return 0;
}

【hdu6148】valley number

這也是一道中文題，題意很好懂就是數字從左到右看不要有先遞增後遞減的情況即可

這道題只要修改一下上面的模板就可以了，數字dp題的關鍵在於如何分析下乙個數字的情況

ll dfs(int pos, int pre, int turn, bool limit, bool invalid) //這條語句中pos是要dp的位置，pre,turn,limit,invalid...這些都是前提條件，或者 //說是之前位置上確定一些數之後的狀態，而這個dfs要進行的就是在這個狀態下繼續

//確定下一位的數字

同樣直接看**吧，這種題關鍵在於你要理解如何確定每一位數字的過程

#include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std;
typedef long long ll;
const ll m = 1e9 + 7;
int a[105];
ll dp[105][10][3];
ll dfs(int pos, int pre, int turn, bool limit, bool invalid)//turn：0不清楚，1下降，2上公升
ans %= m;
if(!limit) dp[pos][pre][turn]=ans;
return ans;
}char str[105];
int main()
return 0;
}

這就是數字dp的入門了，之後繼續學習數字dp更美妙的高階藝術吧！

參考資料：

數字DP入門數字DP模板

數字dp 模板

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數字DP入門 數字DP模板

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