最近在學習高等數學中微積分和極限的一些知識，我們知道數學在歷史上一共經歷了三次大危機。而第二次數學危機的導火索正是芝諾悖論。危機的萌芽出現在大約西元前450年，芝諾注意到由於對無限性的理解問題而產生的矛盾，提出了關於時空的有限與無限的四個悖論：「兩分法」、「阿基里斯（《荷馬史詩》中的善跑的英雄）追不上烏龜」、「飛矢不動」、「操場或遊行隊伍」。現在我們取其中之一來了解一下這些悖論是怎麼」迷惑人心」的。
阿基里斯是古希臘神話中的跑步健將。假設他和烏龜賽跑，他的速度為烏龜的10倍，烏龜在其前面1000m處出發，他在後面追。芝諾可以證明，阿基里斯永遠不可能追上烏龜！
當比賽開始後，若阿基里斯跑了1000公尺，設所用的時間為t，此時烏龜便領先他100公尺；當阿基里斯跑完下乙個100公尺時，他所用的時間為t/10，烏龜仍然前於他10公尺；當阿基里斯跑完下乙個10公尺時，他所用的時間為t/100，烏龜仍然前於他1公尺……這樣，烏龜會製造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間製造出乙個距離，不管這個距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿基里斯就永遠也追不上烏龜！
以我們現在常識來看，阿基里斯肯定是能追上烏龜的，但是乍一看芝諾的推理彷彿很有道理，但實際上這個推理成立的前提條件是：時間和空間是可以無限分割的。因為芝諾將追趕的過程分成了無窮多個部分，到後來阿基里斯與烏龜的距離無窮小，追上這段距離所需的時間也無窮小。如果時空真能無限分割，那麼他就永遠也追不上。
說到這裡你可能已經想到了，這個悖論正好和數學中的極限概念如出一轍。我們假設阿基里斯和烏龜相距s，阿基里斯速度為v1，烏龜速度為v2，把阿基里斯從乙個起點開始跑並達到烏龜所留下的新起點的過程算作一次。我們把次數記為n，跑到新起點的時刻記為tn，此時兩點距離記為dn。
因為阿基里斯速度遠遠大於烏龜，所以隨著前進，tn將會變得越來越小。結合極限的定義：如果當數列的項數n無限增大時，它的一般項tn無限接近於乙個確定的常數a，則稱a為數列的極限。記作tn ->a(a->∞)，結合上面例子我們知道數列的極限可以記作：
也可以理解為當t趨於s/(v1-v2)時，兩者距離趨於0，但始終不為0。只有s/(v1-v2)時刻才為0，但這個時刻不在悖論討論的範圍內，所以在悖論討論的範圍內，距離也不可能達到0。
我們知道數學是一門非常嚴謹的語言，任何定理的證明都會加上一定的前提條件，在某一確定的領域內進行研究。極限的定義也是如此，前提條件是n無限增大。芝諾悖論的前提便是時間空間可以無限劃分。研究範圍已經確定是在阿基里斯還未追上烏龜的這段時間內。而現實世界裡時間不會讓你無限分割，它總會到達「s/(v1-v2)」這個時間點。所以我們要做好時間管理，讓自己能夠在有限的時間裡做到盡可能多的有價值的事情。
芝諾悖論的理解
看了芝諾悖論的第一感覺就是他說的都是錯的，跟我現實相悖，但是又找不到乙個合理的解釋。其實芝諾想告訴大家的可能就是 運動是人的一種主觀印象。我個人認為，運動是空間和時間的結合。但是芝諾的提問很好的激發了大家對 有限 和 無限 這一看似矛盾的概念的思考。阿基里斯追不上烏龜 距離 速度 時間。當距離和速度...
芝諾悖論之極限
曾經有個古希臘的科學家提出了這樣乙個問題 乙個人和乙個烏龜賽跑，人的速度是烏龜的10倍，但是由於烏龜跑得慢，所以讓烏龜在他前面100公尺處，然後人和烏龜同時開跑。這時就會出現這樣的情景 當人向前跑了100公尺時，人到達了烏龜原來所在的位置，然而烏龜已經爬出去了10公尺，烏龜還在人的前面 當人又繼續向...
極限思想之芝諾悖論
芝諾悖論是古希臘哲學家芝諾提出的一組悖論。芝諾是乙個很有學問，同時也很好玩的人 淘氣 他如果在中國出生，估計很難大學畢業，只能跟池子 脫口秀演員 一樣，高中教室門外面站三年課，然後去講脫口秀餬口。阿基里斯，大家都知道。古希臘神話中的戰神。無論是力量，速度，耐力，格鬥技巧，都是巔峰級別的。一夜睡三女，...